1、22 函数的简单性质22.1 函数的单调性第 1 课时 函数的单调性学习目标 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(难点)预习教材 P3738，完成下面问题：知识点一 单调增函数与单调减函数的定义一般地，设函数 yf (x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)(f(x1) f(x2)，那么就说 yf (x)在区间 I 上是单调增( 减)函数，I 称为 yf(x)的单调增(减)区间【预习评价
2、】如果函数 f(x)在a，b 上是增函数，对于任意的 x1，x 2a，b(x 1x 2)，则下列结论中正确的是_ 0；fx1 fx2x1 x2(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0；f(a)f(x 1)f(x 2)f(b)； 0.x1 x2fx1 fx2解析 由函数单调性的定义可知，若函数 yf(x )在给定的区间上是增函数，则x1x 2 与 f(x1)f(x 2)同号，由此可知，、正确；对于，当 x1x 2 时，可有 x1a 或 x2b，即 f(x1)f(a)或 f(x2)f(b)，故不成立答案 知识点二 单调性与单调区间如果函数 y f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，就说函
3、数 yf(x)在区间 I 上具有 单调性，区间 I 称为单调区间【预习评价】判断 (1)任何函数在定义域上都具有单调性( )(2)若函数 f(x)在定义域内的两个区间 D1，D 2 上都是减函数，那么 f(x)的减区间可写成 D1D2.( )提示 (1). 函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质有的函数不具有单调性，例如：函数 yError! 再如：函数 yx1(xZ )，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性(2).单调区间不能取并集，如 y 在(，0)上递减，在(0，)上也递减，1x但不能说 y 在(，
4、0) (0，)上递减1x思考 我们已经知道 f(x) x2 的减区间为( ，0，f(x) 的减区间为(，0)，1x这两个减区间能不能交换？提示 f( x)x 2 的减区间可以写成(，0)，而 f(x) 的减区间(，0)不能1x写成( ，0，因为 0 不属于 f(x) 的定义域1x题型一 求单调区间并判断单调性【例 1】 (1)如图是定义在区间5,5 上的函数 yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？(2)写出 yx 23|x |2 的单调区间解 (1)yf(x)的单调区间有5，2， 2,1， 1,3，3,5 ，其中 yf (x)在区间5 ，2
5、，1,3 上是单调减函数，在区间 2,1 ，3,5 上是单调增函数(2)由 f(x)Error!画出草图：f(x)在 (， ，0， 上单调递减，在 ，0 ， ，)上单调递增32 32 32 32规律方法 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“” ，可以用“和”来表示；在单调区间 D 上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有【训练 1】 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是单调增函数还是单调减函数；(2)写出 y|x 22x 3|的单调区间解 (1)函数在 1,0，2,4上是单
6、调减函数，在0,2，4,5上是单调增函数(2)先画出 f(x)Error!的图象，如下图则函数单调减区间是 (，1 ，1,3，单调增区间是(1,1) ，(3 ，) 题型二 函数单调性的判定与证明【例 2】 求证：函数 f(x)x 在(0,1)上是减函数1x证明 设任意的 x1，x 2(0,1)，且 x10，x 2x 10，所以 f(m9)，则实数 m 的取值范围是_解析 因为函数 yf (x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m 9)，所以2mm9，即 m3.答案 (3 ，)5求函数 y x|x1|的单调递增区间解 画出函数 yx |x1|Error!的图象，如图，可得函数的单调递增区间为
7、(， ，1，)12课堂小结1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的 x1、x 2 有以下几个特征：一是任意性，即任意取 x1，x 2，“任意” 二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性2单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断： “增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”.