1、第 2 课时 函数的图象和值域学习目标 1.会画一些简单函数的图象(重点)；2.求一些简单函数的值域(重、难点)预习教材 P2530，完成下面问题：知识点一 函数图象的概念将自变量的一个值 x0 作为 横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0，f(x 0)当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为( x，y)|yf(x)，xA ，所有这些点组成的图形就是函数 yf(x )的图象【预习评价】下列图形中，不可能是函数 yf(x )的图象的是_解析 由函数定义知，一个 x 只能对应一个 y 值，而在 中当 x0
2、 时，一个 x值有两个 y 值与之对应；所以不可能是函数 y f(x)的图象答案 知识点二 常见函数的图象k0(a0) k0)y (k0)kxyax 2bx c (a0)【预习评价】已知 f(x)Error!则关于图中函数图象的说法正确的是_(填序号)(1)是 f(x1) 的图象；(2)是 f(x) 的图象；(3)是 f(|x|)或|f(x)|的图象；(4)以上说法都不对解析 对于(1)，当1x0 时，f(x)x1 为上升的直线，与图中的所示不符，故(1)错误，根据图象又知(2)(3)均错误，(4)正确答案 (4)知识点三 求函数值域的常见方法(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟
3、知的基本函数的值域求出函数的值域(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为 yax 2bxc(a0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为反比例函数类型的形式，便于求值域【预习评价】1已知函数 f(x) ，则 f(x)的值域是_12x x2解析 2xx 2( x1) 211，所以 f(x) 的值域为(，0) 1，12x x2)答案 (，0) 1，)2函数 yx 2x
4、(1x4，xZ)的值域是_解析 由 x 1,0,1,2,3,4，代入解析式即得 y0,2,6,12答案 0,2,6,12题型一 画函数的图象【例 1】 画出下列函数的图象：(1)yx 2x，x 1,0,1,2,3；(2)yx 2x，x R；(3)yx 2x，x 1,1)解 (1)列表：x 1 0 1 2 3y 0 0 2 6 12描点得该函数的图象如图：(2)yx 2x 2 ，(x 12) 14故函数对称轴为 x ，顶点为 .12 ( 12， 14)又 yx 2x 开口向上，且与 x 轴，y 轴分别交于点(1,0)，(0,0)故图象如图：(3)yx 2x，x 1,1)的图象是 yx 2x，x
5、R 的图象上 x1,1)的一段，其中点( 1,0)在图象上，用实心点表示；点(1,2) 不在图象上，用空心点表示：规律方法 (1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点【训练 1】 画出下列函数的图象：(1)yx1(x0) ；(2)yx 22x(x 1，或 x1)解 (1)yx1(x0) 表示一条射线，图象如图(1) (2)yx 22x(x 1) 21(x1
6、，或 x1)是抛物线 yx 2x 去掉1x1 之间的部分后剩余曲线如图(2)题型二 函数图象的变换【例 2】 分别在同一坐标系中作出下列两组函数的图象，并探究它们图象之间的关系？(1)yx，y|x|，y |x 1|；(2)yx 2，y(x 1) 2，y(x1) 21.解 (1)在同一坐标系中分别用描点法作出它们的图象，如图首先作出 y x 的图象，当作完 y| x|的图象时，我们发现只要把 yx 在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，就能得到 y| x|的图象，如果再把 y|x|的图象向右平移一个单位，就得到 y|x1|的图象(2)在同一坐标系中用描点法分别作出它们的图象，如图由图象可以看出
7、，把 y x2 的图象向右平移一个单位得 y(x1) 2 的图象，把y(x 1)2 的图象向上平移一个单位得到 y(x1) 21 的图象规律方法 (1)函数图象的平移变换：左右平移：y f (x)的图象向右(a0)或向左(a0)平移|a| 个单位得到 yf (xa)的图象上下平移：y f (x)的图象向上(a0)或向下(a0)平移|a| 个单位得 yf (x)a的图象(2)函数图象的对称变换：yf(x) 的图象与 yf(x) 的图象关于 y 轴对称；yf(x) 的图象与 yf(x) 的图象关于 x 轴对称；yf(x )的图象与 yf(x) 的图象关于原点对称；y|f(x)| 的图象是保留 yf
8、(x) 的图象中位于 x 轴及其上方的部分，将 yf(x)的图象中位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到；yf(|x|) 的图象是保留 yf(x) 的图象中位于 y 轴及其右侧的部分，去掉位于 y轴左侧的部分，再将右侧部分以 y 轴为对称轴翻折到左侧而得到【训练 2】 试画出下列函数的图象：(1)y ；2x(2)y ，x2,1)且 x0；2x(3)y .2x 1解 (1)如图：(2)y ，在 x2,1)上的一段，如图：2x(3)由 y 向左平移一个单位得 y 的图象，如图：2x 2x 1考查方向题型三 求函数的值域方向 1：观察法【例 31】 求函数的值域：y 1.x
9、解 0， 11.x x函数 y 1 的值域为1，)x方向 2：分离常数法【例 32】 求 y 的值域5x 14x 2解 y 5x 14x 2 544x 2 1 1044x 2 544x 2 1444x 2 .54 724x 2 0， y .724x 2 54函数的值域为 y|y 54方向 3：换元法【例 33】 求 yx 的值域2x 1解 设 u (x )，2x 112则 x (u0)，1 u22y u (u0)1 u22 u 122由 u0 知(u1) 21，y .12函数 yx 的值域为 ，) 2x 112方向 4：数形结合(图象法)【例 34】 设函数 f(x)12x 2，g(x)x 2
10、2x，若 F(x)Error!求函数 F(x)的值域解 作出 F(x)的图象，如图所示 (图中实线部分)，当 f(x)g(x )时，即12x 2x 22x，解得 x 或 x1，f( ) ，则由图可知 F(x)的值域为13 13 79.( ，79规律方法 (1)求值域时一定要注意定义域的影响，如函数 yx 22x3 的值域与函数 yx 22x3，x0,3)的值域是不同的(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化(3)分离常数法即将形如 y (a0)的函数分离常数，变形过程为 cx dax b cx dax b ，再结合 x 的范围确定 的取值范围，从而确定caax b
11、d bcaax b cad bcaax bd bcaax b函数的值域.课堂达标1.函数 f(x)x 2x2(1x2) 的值域为_解析 作出函数 yx 2x2，x1,2的图象，观察图象可知值域为 ， 494答案 ，4942函数 y2 的图象可以看成由函数 y 的图象沿 x 轴方向向1x 1 1x_平移_个单位长度，再沿 y 轴方向向_平移_个单位长度而得到解析 函数 y2 的图象可以看成由 y 的图象向右平移 1 个单位长度，1x 1 1x再向上平移 2 个单位长度而得到答案 右 1 上 23函数 y 的图象可以看作是由函数 y 的图象沿 x 轴方向向_平1x 1 1x移_个单位长度而得到解析
12、 函数 y 的图象可以看作是由函数 y 的图象沿 x 轴方向向左平移1x 1 1x1 个单位长度而得到答案 左 14函数 y2 x1，x1,2,3,4,5的值域是_解析 由题意可得 y3,5,7,9,11答案 3,5,7,9,115已知二次函数 f(x)x 2bxc 满足 f(2)f(1) ，试比较 f(2)，f (0)，f(2)的大小解 由 f(2) f(1)得该二次函数的对称轴是 x ，则 f(2) f(3)，又开口向上，12由图象易知 f(0)f (2)f(3)，即 f(0)f(2)f(2) 课堂小结1作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点2在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确3分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于 y 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象.