1、3.4 生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识点 生活中的优化问题的解法(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)利用导数解决生活中优化问题的基本思路(3)解决优化问题的基本步骤分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x )；求导函数 f(x)，解方程 f(x)0；比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；依据实际问题的意义给出答案【预习评价】已知某种产品当产量为 x
2、吨(x 0，3)时，其每吨的平均利润为 2x212 万元，则生产该产品的最大利润为_万元解析 由题意知，生产该产品的利润为 f(x)x(2x 212)2x 312x，f(x)6x 2126(x )(x )，由 f(x)0 得 x ，由 f(x)0 得 x ，2 2 2 2故 f(x)在0 ， 上单调递减，在 ，3上单调递增，又 f(0)0，f (3)18，故2 2f(x)的最大值为 18，即生产该产品可获得的最大利润为 18 万元.答案 18题型一 用料最省问题【例 1】 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的 B处，乙厂到
3、河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如题图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省.设点 C 距点 D 为 x km，则 BC ，又设总的BD2 CD2 x2 402水管费用为 y 元，依题意有 y3a(50x)5a (020，y25.y 252两栏面积之和为 2(x20) 18 000，y 252由此得 y 25.18 000x 20广告的面积 Sxyx 25x ，(18 000x 20 25) 18 00
4、0xx 20S 25 25.18 000（x 20） x（x 20）2 360 000（x 20）2令 S0 得 x140，令 S0)；固定部分为 a 元.(1)把全程运输成本 y(元) 表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 ，全程运输成本为svya bv 2 s( bv)，sv sv av所求函数及其定义域为 ys( bv)，v(0 ，c.av(2)由题意 s，a，b，v 均为正数.令 ys (b )0 得 v ，v(0，c .av2 ab若 c，则当 v 时，全程运
5、输成本 y 最小；ab ab若 c，则 v(0，c，ab此时 yc 时，行驶速度 vc.ab规律方法 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于 0，否则不会获利.【训练 3】 某产品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0x21)的平方成正比 .已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使
6、一个星期的商品销售利润最大？解 (1)若商品降低 x 元，则一个星期多卖的商品为 kx2件.由已知条件，得 k2224 ，解得 k6.若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有 f(x)(30x 9)(4326x 2)6x 3126 x2432x9 072，x0，21.(2)对(1)中函数求导得 f(x)18x 2252x 43218(x2)(x 12).当 x 变化时， f(x)，f(x) 随 x 的变化情况如下表：x 0 (0，2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21f(x) 0 0 f(x) 9 072 A极小值 A极大值 Ax12 时， f(x)取得极大值.f(0)9 07
7、2 ，f (12)11 664，定价为 301218(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大课堂达标1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：) 为 f(x) x3x 28(0x 5)，那么，原油温度的瞬时变化13率的最小值是( )A.8 B.203C.1 D.8解析 原油温度的瞬时变化率为 f(x)x 22x(x1) 21(0x5)，所以当x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案 C2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时底面边长为 ( )A. B.3V 32VC. D.234V 3V解析 设底面边长为 x，则表
8、面积 S x2 V(x0).32 43xS (x3 4V).令 S0 ，得 x .3x2 34V答案 C3.已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元) 与年产量 x(单位：万件) 的函数关系式为 y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )13A.13 万件 B.11 万件C.9 万件 D.7 万件解析 因为 yx 281 ，所以当 x9 时，y 0；当 x(0，9)时，y0.所以函数 y x381x234 在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增.13所以 x9 是函数的极大值点.又因为函数在(0，) 上只有一个极大值点，所以函数在 x9 处取得最大值 .答案 C4.
9、某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r 则400x 12x2，0 x 400，80 000， x 400， )总利润最大时，年产量是( )A.100 B.150 C.200 D.300解析 设年产量为 x 时，总利润为 y，依题意，得y 400x 12x2 20 000 100x，0 x 400，80 000 20 000 100x， x 400， )即 y 300x 12x2 20 000，0 x 400，60 000 100x， x 400， )所以 y 300 x，0 x 400， 100， x
10、400， )由 y0，得 x300.经验证，当 x300 时，总利润最大 .答案 D5.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出 0.5 m，则当高为_m 时，容器的容积最大.解析 设高为 x m，则 Vx(x0.5)2x 32.2x 21.6x，x (0，1.6) ，(14.84 0.5 2x)所以 V6x 24.4x 1.6.令 V0，解得 x1 或 x (舍去).415当 0x1 时， V0，当 1x 1.6 时，V0，所以当 x1 时，容器的容积取得最大值 .答案 1课堂小结正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用