1、3.3.3 函数的最大( 小)值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点 1 函数 f(x)在闭区间 a，b上的最值(1)函数 f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数 yf(x)在a，b上最值的步骤求函数 y f(x)在(a，b)内的极值.将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【预习评价】函数 f(x) x3x 23x 6 在4，4 上的最大值为
2、_，最小值为13_.解析 f( x)x 22x3，令 f(x)0，得 x1 或 x3，令 f(x)0，得1x3，故 f(x)在(，1)，(3，)上单调递增，在(1，3)上单调递减，故 f(x)的极大值为 f(1) ，极小值为 f(3) 3，又 f(4) ，f (4)233 583 ，故 f(x)的最大值为 f(1) ，最小值为 f(4) .23 233 583答案 233 583知识点 2 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部) 而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小) 值可能有多个，但最大(小)值只有一个( 或者没有).(3)函数 f(x
3、)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小) 值必在极大(小) 值点或区间端点处取得.如图是 yf(x )在区间a，b上的函数图象.显然 f(x1)，f (x3)，f(x 5)为极大值，f(x 2)，f(x4)，f(x 6)为极小值.最大值 yMf( x3)f(b)分别在 xx 3 及 xb 处取得，最小值 ymf(x 4)在 xx 4 处取得 .【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 yf(x)的极大值和最大值相等.( )(2)函数 yf(x)的最大值不小于其最小值.( )(3)函数的最大值和极大值都可能有多个.( )提示 (1)
4、当最大值是极大值时，二者相等，否则极大值小于最大值，故(1)错(2)由最值的定义可知(2) 正确 .(3)最大值可能没有，若有则只有一个，而极大值可能没有也可能有多个，故(3)错.答案 (1) (2) (3)题型一 求函数在闭区间上的最值【例 1】 求下列各函数的最值：(1)f(x) 2x36x 23，x 2，4；(2)f(x) x33x 26x 2， x1，1.解 (1)f(x) 6x 212x 6 x(x2).令 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时， f(x)，f(x) 的变化情况如下表x 2 (2，0) 0 (0，2) 2 (2，4)4f(x) 0 0 f(x) 37 极大值
5、 3 极小值5 35当 x4 时， f(x)取最大值 35.当 x2 时， f(x)取最小值37，即 f(x)的最大值为 35，最小值为 37.(2)f(x)3x 26x 63(x 22x2)3(x 1) 23，f(x)在1 ，1 内恒大于 0，f(x)在1， 1上为增函数.故 x1 时， f(x)最小值 12；x1 时，f(x) 最大值 2，即 f(x)的最小值为12，最大值为 2.规律方法 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步.若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得.求出导数为零的点.比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调
6、，则最大、最小值在端点处取得.【训练 1】 求下列函数的最值：(1)f(x) xsin x，x 0， 2；12(2)f(x) ex ex，x0，a，a 为正实数.解 (1)f(x) cos x，x0 ，212令 f(x)0，得 x 或 x .23 43当 x 变化时， f(x)，f(x) 的变化情况如下表：x 0 (0，23) 23 (23，43) 43 (43，2) 2f(x) 0 0 f(x) 0 单调递增 A3 32 单调递减 A23 32 单调递增 A所以当 x0 时，f (x)有最小值 f(0)0；当 x2 时， f(x)有最大值 f(2)，即 f(x)的最小值为 0，最大值为 .(
7、2)f(x) (e x) e x .(1ex) 1ex 1 e2xex当 x0，a时，f(x)0 恒成立，即 f(x)在0 ， a上是减函数.故当 xa 时， f(x)有最小值 f(a)e a e a；当 x0 时， f(x)有最大值 f(0)e 0 e 00，即 f(x)的最小值为 ea e a，最大值为 0.题型二 含参数的函数的最值问题【例 2】 已知函数 f(x) x33x 29xa.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.解 (1)f(x) 3x 26x 93(x 1)(x3).令 f(x)0，得 x1 或 x3，故
8、函数 f(x)的单调递减区间为 (，1)，(3，).(2)因为 f(2)81218a2a，f(2)812 18a22 a，所以 f(2)f(2).因为在(1，3) 上 f(x)0，所以 f(x)在 1，2 上单调递增，所以 f(1) 是 f(x)的最小值，且 f(1)a5，所以 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2.所以 f(1) 25 7，即函数 f(x)在区间2，2上的最小值为7.规律方法 函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最值的问题时，一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数最值与极值的有力工具.【训练
9、 2】 已知函数 f(x)ax 36ax 2b 在1，2上有最大值 3，最小值29，求 a，b 的值.解 由题意，知 a0.因为 f(x)3ax 212ax3ax(x 4)，x1，2，所以令 f(x)0，得 x0 或 x4(舍去).若 a0，当 x 变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x 1，0) 0 (0，2f(x) 0 f(x) 单调递增 A极大值 b 单调递减 A由上表，知当 x0 时，f(x )取得最大值，所以 f(0)b 3，又因为 f(2) 16a3， f(1) 7a3，故 f(1) f(2)，所以当 x2 时，f(x)取得最小值，即16a329，解得 a2.若 a0，当
10、 x 变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x 1，0) 0 (0，2f(x) 0 f(x) 单调递减 A极小值 b 单调递增 A所以当 x0 时，f (x)取得最小值，所以 f(0)b 29.又因为 f(2) 16a29， f(1) 7a29，故 f(2)f(1).所以当 x2 时，f (x)取得最大值，即16a293，解得 a2.综上所述，所求 a，b 的值为 或a 2，b 3) a 2，b 29.)典例迁移 题型三 函数最值的应用【例 3】 设函数 f(x)tx 22t 2xt1(xR，t0).(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)2tm 对 t (0，2)恒成
11、立，求实数 m 的取值范围.解 (1)f(x)t(xt) 2t 3t1(x R，t0)，当 xt 时，f( x)取最小值 f(t)t 3t1，即 h(t)t 3t1.(2)令 g(t)h(t) (2tm)t 33t1m，由 g(t)3 t230 得 t1，t1(不合题意，舍去).当 t 变化时 g(t)，g( t)的变化情况如下表：t (0，1) 1 (1，2)g(t) 0 g(t) 单调递增 1m 单调递减对 t(0，2) ，当 t1 时，g(t) max1m，h(t)1.故实数 m 的取值范围是(1，).【迁移】 在例 3(2)中，把原条件改为“存在 t(0，2)，使 h(t)2t m 成
12、立”，求实数 m 的取值范围.解 令 g(t) h(t)(2tm)t 33t1m，由 g(t)3 t230，得 t1，t1(不合题意，舍去).由 g(t)0，得 0t 1，由 g(t)0，得 1t 2，则 g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，又 g(0)1 m，g(2) 3m，所以 g(2)g(0)，由题意知，3m0，m3.故实数 m 的取值范围是(3，).规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.f( x)恒成立 f(x) max； f (x)恒成立 f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即
13、可.(2)“能成立” 问题向最值问题转化也是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.f(x)能成立 f(x) min，f (x)能成立 f (x)max，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参数函数的最值即可.(3)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.【训练 3】 已知函数 f(x)ax 4ln xbx 4c(x 0)在 x1 处取得极值3c，其中 a，b，c 为常数，若对任意 x0，不等式 f(x)2c 2 恒成立，求 c 的取值范围.解 由题意，知 f(1) 3c .因此 bc 3c ，从而 b3.所以对 f(x
14、)求导，得f(x)4ax 3ln xax 4 12 x31xx 3(4aln x a12).由题意，知 f(1)0，即 a120，得 a12.所以 f(x)48x 3ln x(x0)，令 f(x)0，得 x1.当 0x1 时， f(x)0，此时 f(x)为减函数；当 x1 时， f(x)0，此时 f(x)为增函数.所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3c，并且此极小值也是最小值.所以要使 f(x)2c 2(x0)恒成立，只需3c 2c 2 即可.整理，得 2c2c 30，解得 c 或 c1.32所以 c 的取值范围是 ( ，1 .32， )来#%源: 中国教育 &出版网中%# 国教育
15、*出版网课堂达标1.函数 f(x)x 24x7 在 x3，5 上的最大值和最小值分别是( )A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5)C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3)解析 f( x)2x4，当 x3，5时，f( x)0 ，则函数在区间 上为增函2， 2，数，所以 y 的最大值为 ymax sin ，故选 C.答案 C4.函数 f(x)x 33x 29x k 在区间4，4上的最大值为 10，则其最小值为_.解析 f( x)3x 26x93(x3)( x1).由 f(x)0 得 x3 或 x1.又 f(4) k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由 f(x)max
16、k510，得 k5，f(x) mink 7671.答案 715.已知 a 为实数，f(x )(x 24)(xa) ，若 f(1)0，则函数 f(x)在2，2上的最大值为_，最小值为_.解析 由原式，得 f(x)x 3ax 24x4a，f(x)3x 22ax4.由 f(1) 0 ，得 a ，12此时 f(x)x 3 x24x 2，12f(x)3x 2x4.令 f(x)0，得 x1 或 x .43因为 f(1) ，f ，f(2)f(2)0，92 (43) 5027所以函数 f(x)在2，2 上的最大值为 ，最小值为 .92 5027答案 92 5027课堂小结1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.(2)闭区间a，b上的连续函数一定有最值 .开区间( a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个， 而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.