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人教A版高中数学选修1-1学案:3.3.3 函数的最大(小)值与导数

1、3.3.3 函数的最大( 小)值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点 1 函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值(1)函数 f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在a,b上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数 yf(x)在a,b上最值的步骤求函数 y f(x)在(a,b)内的极值.将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【预习评价】函数 f(x) x3x 23x 6 在4,4 上的最大值为

2、_,最小值为13_.解析 f( x)x 22x3,令 f(x)0,得 x1 或 x3,令 f(x)0,得1x3,故 f(x)在(,1),(3,)上单调递增,在(1,3)上单调递减,故 f(x)的极大值为 f(1) ,极小值为 f(3) 3,又 f(4) ,f (4)233 583 ,故 f(x)的最大值为 f(1) ,最小值为 f(4) .23 233 583答案 233 583知识点 2 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部) 而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内,极大(小) 值可能有多个,但最大(小)值只有一个( 或者没有).(3)函数 f(x

3、)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数,函数的最大(小) 值必在极大(小) 值点或区间端点处取得.如图是 yf(x )在区间a,b上的函数图象.显然 f(x1),f (x3),f(x 5)为极大值,f(x 2),f(x4),f(x 6)为极小值.最大值 yMf( x3)f(b)分别在 xx 3 及 xb 处取得,最小值 ymf(x 4)在 xx 4 处取得 .【预习评价】 (正确的打“”,错误的打“”)(1)函数 yf(x)的极大值和最大值相等.( )(2)函数 yf(x)的最大值不小于其最小值.( )(3)函数的最大值和极大值都可能有多个.( )提示 (1)

4、当最大值是极大值时,二者相等,否则极大值小于最大值,故(1)错(2)由最值的定义可知(2) 正确 .(3)最大值可能没有,若有则只有一个,而极大值可能没有也可能有多个,故(3)错.答案 (1) (2) (3)题型一 求函数在闭区间上的最值【例 1】 求下列各函数的最值:(1)f(x) 2x36x 23,x 2,4;(2)f(x) x33x 26x 2, x1,1.解 (1)f(x) 6x 212x 6 x(x2).令 f(x)0,得 x0 或 x2.当 x 变化时, f(x),f(x) 的变化情况如下表x 2 (2,0) 0 (0,2) 2 (2,4)4f(x) 0 0 f(x) 37 极大值

5、 3 极小值5 35当 x4 时, f(x)取最大值 35.当 x2 时, f(x)取最小值37,即 f(x)的最大值为 35,最小值为 37.(2)f(x)3x 26x 63(x 22x2)3(x 1) 23,f(x)在1 ,1 内恒大于 0,f(x)在1, 1上为增函数.故 x1 时, f(x)最小值 12;x1 时,f(x) 最大值 2,即 f(x)的最小值为12,最大值为 2.规律方法 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一步.若仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.求出导数为零的点.比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间a,b上连续且单调

6、,则最大、最小值在端点处取得.【训练 1】 求下列函数的最值:(1)f(x) xsin x,x 0, 2;12(2)f(x) ex ex,x0,a,a 为正实数.解 (1)f(x) cos x,x0 ,212令 f(x)0,得 x 或 x .23 43当 x 变化时, f(x),f(x) 的变化情况如下表:x 0 (0,23) 23 (23,43) 43 (43,2) 2f(x) 0 0 f(x) 0 单调递增 A3 32 单调递减 A23 32 单调递增 A所以当 x0 时,f (x)有最小值 f(0)0;当 x2 时, f(x)有最大值 f(2),即 f(x)的最小值为 0,最大值为 .(

7、2)f(x) (e x) e x .(1ex) 1ex 1 e2xex当 x0,a时,f(x)0 恒成立,即 f(x)在0 , a上是减函数.故当 xa 时, f(x)有最小值 f(a)e a e a;当 x0 时, f(x)有最大值 f(0)e 0 e 00,即 f(x)的最小值为 ea e a,最大值为 0.题型二 含参数的函数的最值问题【例 2】 已知函数 f(x) x33x 29xa.(1)求 f(x)的单调递减区间;(2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.解 (1)f(x) 3x 26x 93(x 1)(x3).令 f(x)0,得 x1 或 x3,故

8、函数 f(x)的单调递减区间为 (,1),(3,).(2)因为 f(2)81218a2a,f(2)812 18a22 a,所以 f(2)f(2).因为在(1,3) 上 f(x)0,所以 f(x)在 1,2 上单调递增,所以 f(1) 是 f(x)的最小值,且 f(1)a5,所以 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值,于是有 22a20,解得 a2.所以 f(1) 25 7,即函数 f(x)在区间2,2上的最小值为7.规律方法 函数的最值与极值及单调性密切相关,因而在求解函数的最值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数最值与极值的有力工具.【训练

9、 2】 已知函数 f(x)ax 36ax 2b 在1,2上有最大值 3,最小值29,求 a,b 的值.解 由题意,知 a0.因为 f(x)3ax 212ax3ax(x 4),x1,2,所以令 f(x)0,得 x0 或 x4(舍去).若 a0,当 x 变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x 1,0) 0 (0,2f(x) 0 f(x) 单调递增 A极大值 b 单调递减 A由上表,知当 x0 时,f(x )取得最大值,所以 f(0)b 3,又因为 f(2) 16a3, f(1) 7a3,故 f(1) f(2),所以当 x2 时,f(x)取得最小值,即16a329,解得 a2.若 a0,当

10、 x 变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x 1,0) 0 (0,2f(x) 0 f(x) 单调递减 A极小值 b 单调递增 A所以当 x0 时,f (x)取得最小值,所以 f(0)b 29.又因为 f(2) 16a29, f(1) 7a29,故 f(2)f(1).所以当 x2 时,f (x)取得最大值,即16a293,解得 a2.综上所述,所求 a,b 的值为 或a 2,b 3) a 2,b 29.)典例迁移 题型三 函数最值的应用【例 3】 设函数 f(x)tx 22t 2xt1(xR,t0).(1)求 f(x)的最小值 h(t);(2)若 h(t)2tm 对 t (0,2)恒成

11、立,求实数 m 的取值范围.解 (1)f(x)t(xt) 2t 3t1(x R,t0),当 xt 时,f( x)取最小值 f(t)t 3t1,即 h(t)t 3t1.(2)令 g(t)h(t) (2tm)t 33t1m,由 g(t)3 t230 得 t1,t1(不合题意,舍去).当 t 变化时 g(t),g( t)的变化情况如下表:t (0,1) 1 (1,2)g(t) 0 g(t) 单调递增 1m 单调递减对 t(0,2) ,当 t1 时,g(t) max1m,h(t)1.故实数 m 的取值范围是(1,).【迁移】 在例 3(2)中,把原条件改为“存在 t(0,2),使 h(t)2t m 成

12、立”,求实数 m 的取值范围.解 令 g(t) h(t)(2tm)t 33t1m,由 g(t)3 t230,得 t1,t1(不合题意,舍去).由 g(t)0,得 0t 1,由 g(t)0,得 1t 2,则 g(t)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,又 g(0)1 m,g(2) 3m,所以 g(2)g(0),由题意知,3m0,m3.故实数 m 的取值范围是(3,).规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.f( x)恒成立 f(x) max; f (x)恒成立 f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即

13、可.(2)“能成立” 问题向最值问题转化也是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.f(x)能成立 f(x) min,f (x)能成立 f (x)max,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参数函数的最值即可.(3)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“”.【训练 3】 已知函数 f(x)ax 4ln xbx 4c(x 0)在 x1 处取得极值3c,其中 a,b,c 为常数,若对任意 x0,不等式 f(x)2c 2 恒成立,求 c 的取值范围.解 由题意,知 f(1) 3c .因此 bc 3c ,从而 b3.所以对 f(x

14、)求导,得f(x)4ax 3ln xax 4 12 x31xx 3(4aln x a12).由题意,知 f(1)0,即 a120,得 a12.所以 f(x)48x 3ln x(x0),令 f(x)0,得 x1.当 0x1 时, f(x)0,此时 f(x)为减函数;当 x1 时, f(x)0,此时 f(x)为增函数.所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3c,并且此极小值也是最小值.所以要使 f(x)2c 2(x0)恒成立,只需3c 2c 2 即可.整理,得 2c2c 30,解得 c 或 c1.32所以 c 的取值范围是 ( ,1 .32, )来#%源: 中国教育 &出版网中%# 国教育

15、*出版网课堂达标1.函数 f(x)x 24x7 在 x3,5 上的最大值和最小值分别是( )A.f(2),f(3) B.f(3),f(5)C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)解析 f( x)2x4,当 x3,5时,f( x)0 ,则函数在区间 上为增函2, 2,数,所以 y 的最大值为 ymax sin ,故选 C.答案 C4.函数 f(x)x 33x 29x k 在区间4,4上的最大值为 10,则其最小值为_.解析 f( x)3x 26x93(x3)( x1).由 f(x)0 得 x3 或 x1.又 f(4) k76,f(3)k27,f(1)k5,f(4)k20.由 f(x)max

16、k510,得 k5,f(x) mink 7671.答案 715.已知 a 为实数,f(x )(x 24)(xa) ,若 f(1)0,则函数 f(x)在2,2上的最大值为_,最小值为_.解析 由原式,得 f(x)x 3ax 24x4a,f(x)3x 22ax4.由 f(1) 0 ,得 a ,12此时 f(x)x 3 x24x 2,12f(x)3x 2x4.令 f(x)0,得 x1 或 x .43因为 f(1) ,f ,f(2)f(2)0,92 (43) 5027所以函数 f(x)在2,2 上的最大值为 ,最小值为 .92 5027答案 92 5027课堂小结1.求函数的最值时,应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值 .开区间( a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).2.求含参数的函数最值,可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.