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人教A版高中数学选修1-1学案:3.3.1 函数的单调性与导数

1、3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点 1 函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:导数 函数的单调性f(x)0 单调递增f(x)0 的什么条件?提示 必要不充分条件.知识点 2 利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤:(1)确定定义域;(2)求导数 f(x);(3)解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4

2、)解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间【预习评价】函数 f(x) x3x 23x 2 的单调增区间是_13解析 f( x)x 22x3,令 f(x)0,解得 x1 或 x3,故 f(x)的单调增区间是( ,1),(3,).答案 (,1) ,(3,)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例 1】 证明:函数 f(x) 在区间 上单调递减.sin xx (2,)证明 f( x) ,又 x ,xcos x sin xx2 (2,)则 cos x0(或0,1 ln xx2故 f(x)在区间(0,e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间【例 2】 求下列函数的单调区间:

3、(1)f(x) 2x33x 236x 1 ;(2) f(x)sin xx(00,解得 x2;由 f(x)0 解得30,即 2 0,3x2 1x解得 .33 33又x0,x .33令 f(x)0,00 时,由 x2t 解得 x 或 x ;t t由 f(x)0 解得 x ,t t函数 f(x)的增区间是( , )和( ,),减区间是( , )t t t t综上,当 t0 时,f(x )的增区间是(, );当 t0 时,f (x)的增区间是(, ),( ,),减区间是( , ).t t t t规律方法 求函数的单调区间的具体步骤:(1)优先确定 f(x)的定义域;(2)计算导数 f(x);(3)解

4、f(x)0 和 f(x)0 的区间为增区间,定义域内满足 f(x)0,2x 3a0,a2x 3 在 x2,)上恒成立.a(2 x3)min.x2,)时,y2x 3 是单调递增的,(2x 3)min16,a16.当 a16 时,f(x ) 0(x2,) 有且只有 f(2)0,a 的取值范2x3 16x2围是( ,16.方向 2 利用函数的单调性证明不等式【例 32】 已知 a,b 为实数,且 bae,其中 e 为自然对数的底,求证:abb a.证明 当 bae 时,要证 abb a,只要证 bln aaln b,即只要证 .ln aa ln bb构造函数 y (x0),则 y .ln xx 1

5、ln xx2因为当 xe 时,y 0,1 ln xx2所以函数 y 在(e,)内是减函数.ln xx又因为 bae ,所以 .ln aa ln bb故 abb a.规律方法 (1)已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范围,可转化为不等式恒成立问题,一般地,函数 f(x)在区间 I 上单调递增(或减),转化为不等式 f(x)0( f(x)0) 在区间 I 上恒成立,再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式,应用好构造思想解题的关键是:一要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合.【训练 3】 若函数 f(x) x3x

6、 2mx1 是 R 上的单调函数,求实数 m 的取值范围.解 f( x)3x 22xm.因为 f(x)是 R 上的单调函数,所以 f(x)0 恒成立或 f(x)0 恒成立.因为二次项系数 30,所以只能有 f(x)0 恒成立 .因此 412m0,故 m .13当 m 时,使 f(x)0 的点只有一个 x ,也符合题意 .故实数 m 的取值范13 13围是 .13, )课堂达标1.函数 f(x)xln x 在(0,6)上是( )A.增函数B.减函数C.在 上是减函数,在 上是增函数(0,1e) (1e,6)D.在 上是增函数,在 上是减函数(0,1e) (1e,6)解析 f( x)1 0,1x函

7、数在(0 ,6) 上单调递增.答案 A2.f(x)是函数 yf(x) 的导函数,若 yf(x)的图象如图所示,则函数 yf(x)的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知,当 x0,即函数 f(x)为增函数;当02 时,f(x)0,即函数 f(x)为增函数.观察选项易知 D 正确.答案 D3.若函数 f(x)x 3ax 2x6 在(0,1) 内单调递减,则实数 a 的取值范围是( )A.1, ) B.a1C.(,1 D.(0,1)解析 f( x)3x 22ax1,又 f(x)在(0,1)内单调递减,不等式3x22ax10 在(0,1) 内恒成立,f(0)0,且 f(1)0, a1.答案 A4.函数 yx 24xa 的增区间为_,减区间为_.解析 y2x4,令 y0,得 x2;令 y0 和 f(x)0;(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.