1、3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点 1 函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数 函数的单调性f(x)0 单调递增f(x)0 的什么条件？提示 必要不充分条件.知识点 2 利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数 f(x)；(3)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4
2、)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间【预习评价】函数 f(x) x3x 23x 2 的单调增区间是_13解析 f( x)x 22x3，令 f(x)0，解得 x1 或 x3，故 f(x)的单调增区间是( ，1)，(3，).答案 (，1) ，(3，)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例 1】 证明：函数 f(x) 在区间 上单调递减.sin xx (2，)证明 f( x) ，又 x ，xcos x sin xx2 (2，)则 cos x0(或0，1 ln xx2故 f(x)在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间【例 2】 求下列函数的单调区间：
3、(1)f(x) 2x33x 236x 1 ；(2) f(x)sin xx(00，解得 x2；由 f(x)0 解得30，即 2 0，3x2 1x解得 .33 33又x0，x .33令 f(x)0，00 时，由 x2t 解得 x 或 x ；t t由 f(x)0 解得 x ，t t函数 f(x)的增区间是( ， )和( ，)，减区间是( ， )t t t t综上，当 t0 时，f(x )的增区间是(， )；当 t0 时，f (x)的增区间是(， )，( ，)，减区间是( ， ).t t t t规律方法 求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定 f(x)的定义域；(2)计算导数 f(x)；(3)解
4、f(x)0 和 f(x)0 的区间为增区间，定义域内满足 f(x)0，2x 3a0，a2x 3 在 x2，)上恒成立.a(2 x3)min.x2，)时，y2x 3 是单调递增的，(2x 3)min16，a16.当 a16 时，f(x ) 0(x2，) 有且只有 f(2)0，a 的取值范2x3 16x2围是( ，16.方向 2 利用函数的单调性证明不等式【例 32】 已知 a，b 为实数，且 bae，其中 e 为自然对数的底，求证：abb a.证明 当 bae 时，要证 abb a，只要证 bln aaln b，即只要证 .ln aa ln bb构造函数 y (x0)，则 y .ln xx 1
5、ln xx2因为当 xe 时，y 0，1 ln xx2所以函数 y 在(e，)内是减函数.ln xx又因为 bae ，所以 .ln aa ln bb故 abb a.规律方法 (1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数 f(x)在区间 I 上单调递增(或减)，转化为不等式 f(x)0( f(x)0) 在区间 I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练 3】 若函数 f(x) x3x
6、 2mx1 是 R 上的单调函数，求实数 m 的取值范围.解 f( x)3x 22xm.因为 f(x)是 R 上的单调函数，所以 f(x)0 恒成立或 f(x)0 恒成立.因为二次项系数 30，所以只能有 f(x)0 恒成立 .因此 412m0，故 m .13当 m 时，使 f(x)0 的点只有一个 x ，也符合题意 .故实数 m 的取值范13 13围是 .13， )课堂达标1.函数 f(x)xln x 在(0，6)上是( )A.增函数B.减函数C.在 上是减函数，在 上是增函数(0，1e) (1e，6)D.在 上是增函数，在 上是减函数(0，1e) (1e，6)解析 f( x)1 0，1x函
7、数在(0 ，6) 上单调递增.答案 A2.f(x)是函数 yf(x) 的导函数，若 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当 x0，即函数 f(x)为增函数；当02 时，f(x)0，即函数 f(x)为增函数.观察选项易知 D 正确.答案 D3.若函数 f(x)x 3ax 2x6 在(0，1) 内单调递减，则实数 a 的取值范围是( )A.1， ) B.a1C.(，1 D.(0，1)解析 f( x)3x 22ax1，又 f(x)在(0，1)内单调递减，不等式3x22ax10 在(0，1) 内恒成立，f(0)0，且 f(1)0， a1.答案 A4.函数 yx 24xa 的增区间为_，减区间为_.解析 y2x4，令 y0，得 x2；令 y0 和 f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.