1、3.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义知识点 1 导数的几何意义函数 yf(x) 在点 xx 0 处的导数的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f (x0)处的切线的斜率也就是说，曲线 yf(x )在点 P(x0，f(x 0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为 yf(x 0)f(x 0)(xx 0)【预习评价】已知曲线 f(x)x 21 上一点 P(1，0)，则在点 P 处切线的斜率为_解析 f(1) (x2)2，limx 0f（
2、1 x） f（1）x lim x 0（x）2 2xx lim x 0即斜率 k2.答案 2知识点 2 函数的导函数当 xx 0 时，f(x 0)是一个确定的数，这样，当 x 变化时，f (x)是 x 的一个函数，称 f(x)是 f(x)的导函数(简称导数)f(x )也记作 y，即 f(x)y limx 0.f（x x） f（x）x【预习评价】思考 导函数 f(x)与函数在 xx 0 处的导数 f(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？提示 不相同(1)两者的区别：由导数的定义知，f (x0)是一个具体的值，f (x)是由于 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义在 I 上的一个新函数，所
3、以两者的区别是：前者是数值，后者是函数(2)两者的联系：在 xx 0 处的导数 f(x0)是导函数 f(x)在 xx 0 处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.题型一 求曲线在某点处的切线方程【例 1】 求曲线 y 在点 处的切线方程1x (2，12)解 因为 y|x=2 ，所以这条曲limx 012 x 12x lim x 0 12（2 x） 14线在点 处的切线斜率为 ，由直线的点斜式方程可得切线方程为(2，12) 14y (x 2)，即 x4y40.12 14规律方法 一般地，设曲线 C 是函数 yf(x )的图象，P (x0，y 0)是曲线 C 上的定点，由导数的几何意义知 k ，继
4、0limxx 0yx lim x 0f（x0 x） f（x0）x而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程【训练 1】 若曲线 yx 33ax 在某点处的切线方程为 y3x 1，求 a 的值解 yx 33ax.y limx 0（x x）3 3a（x x） x3 3axx limx 03x2x 3x（x）2 （x）3 3axx 3x23x x (x)23a3x 23a.0lixlimx 0设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y 0)，结合已知条件，得解得 a1 .a 1 322，x0 342，) 322题型二 求过曲线外一点的切线方程【例 2】 已知曲线 y2 x27，求曲线过点 P(3，9)的
5、切线方程解 y limx 0yx lim x 02（x x）2 7 （2x2 7）x (4x2x ) 4x.limx 0由于点 P(3， 9)不在曲线上设所求切线的切点为 A(x0，y 0)，则切线的斜率 k4x 0，故所求的切线方程为 y y04x 0(xx 0)将 P(3，9)及 y02x 7 代入上式，20得 9(2 x 7)4x 0(3x 0)20解得 x02 或 x04，所以切点为 (2，1)或(4，25)从而所求切线方程为 8x y150 或 16xy39 0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而
6、求出切线方程【训练 2】 求过点 A(2， 0)且与曲线 y 相切的直线方程1x解 易知点(2，0) 不在曲线上，故设切点为 P(x0， y0)，由y|xx 0 ，limx 01x0 x 1x0x得所求直线方程为 yy 0 (xx 0)由点(2 ，0) 在直线上，得 x y02x 0，再由 P(x0，y 0)在曲线上，得 x0y01，联20立可解得 x0 1，y 01，所求直线方程为 xy 2 0.题型三 求切点坐标【例 3】 在曲线 yx 2 上哪一点处的切线，(1)平行于直线 y4x5；(2)垂直于直线 2x6y50；(3)与 x 轴成 135的倾斜角？解 f(x) 2x，设limx 0f
7、（x x） f（x）x lim x 0（x x）2 x2xP(x0，y 0)是满足条件的点(1)因为切线与直线 y4x5 平行，所以 2x04， x02，y 04，即 P(2，4)是满足条件的点(2)因为切线与直线 2x6y50 垂直，所以 2x0 1，得 x0 ，y 0 ，13 32 94即 P 是满足条件的点( 32，94)(3)因为切线与 x 轴成 135的倾斜角，所以其斜率为1，即 2x01，得 x0 ，y 0 ，12 14即 P 是满足条件的点( 12，14)规律方法 解答此类题目时，明确所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题
8、时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直成立的条件等【训练 3】 已知抛物线 y2x 21，求(1)抛物线上哪一点处的切线平行于直线 4xy2 0?(2)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线 x8y3 0?解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则y2(x 0x )212x 14x 0x2(x) 2.20 4x 02 x.yx当 x 无限趋近于零时， 无限趋近于 4x0，yx即 f(x0)4x 0.(1)抛物线的切线平行于直线 4xy20，切线斜率为 4，即 f(x0)4x 04，得 x01，该点为(1，3)(2)抛物线的切线与直线 x8y30 垂直，切线斜率为 8，
9、即 f(x0)4x 08，得 x02，该点为(2，9).课堂达标1已知曲线 y2x 2 上一点 A(2，8)，则点 A 处的切线斜率为 ( )A4 B16 C8 D2解析 y| x=2 (82x )8，即斜率 k8.limx 02（2 x）2 8x lim x 0答案 C2若曲线 y x2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy 10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca 1，b1 Da1，b1解析 由题意，知 ky |x=0 1，a1.limx 0（0 x）2 a（0 x） b bx又(0， b)在切线上， b1，故选 A.答案 A3已知曲线 y x22 上一点 P ，则在点 P 处的切
10、线的倾斜角为( )12 (1， 32)A30 B45 C135 D 165解析 y x22，12y limx 012（x x）2 2 (12x2 2)x x.limx 012（x）2 xxx lim x 0(x 12x)y| x=11.点 P 处切线的斜率为 1，则切线的倾斜角为 45.(1， 32)答案 B4已知曲线 y2x 24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为_解析 设点 P(x0，2x 4x 0)，20则 y|xx 0 limx 0 4x 04，limx 02（x）2 4x0x 4xx令 4x0416 得 x03， P(3，30)答案 (3 ，30)5曲线 y2 x2
11、1 在点 P(1，3)处的切线方程为_解析 y2(1 x)212(1) 212(x) 24x，2x4，yx (2x4)4，0limxlimx 0yx lim x 0由导数几何意义知，曲线 y2x 21 在点(1，3) 处的切线的斜率为4，切线方程为 y 4x1，即 4xy10.答案 4xy10课堂小结1导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x 0，f( x0)处的切线的斜率，即 kf( x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速0limxlimx 0f（x0 x） f（x0）x度2“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x 0)是其导数 yf(x)在 xx 0 处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 yf(x 0)f(x 0)(xx 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0)，表示出切线方程，然后求出切点.