1、3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标 1.能根据定义求函数 yc ，yx，yx 2，y ，y 的导数.2.能利1x x用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点 1 几个常用函数的导数原函数 导函数f(x)c f(x)0f(x)x f(x)1f(x)x 2 f(x)2xf(x)1xf(x)1x2f(x) xf(x)12x【预习评价】思考 根据上述五个公式，你能总结出函数 yx 的导数是什么吗？提示 yx 的导数是 yx 1 .知识点 2 基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x)c f(x)0f(x)x
2、(Q *) f(x)x 1f(x) sin x f(x)cos_xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f(x)a xln_a(a0)f(x)e x f(x)e xf(x) logax f(x) (a0，且 a1)1xln af(x) ln xf(x)1x【预习评价】求下列函数的导数：(1)f(x) ；(2)g(x )cos ；(3) h(x)3 x.4x54解 (1)f(x) x ，f(x ) x ；545414(2)g(x)cos ，g( x)0；4 22(3)h(x)3 xln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例 1】 利用导数的定义求函数 f(x)2 016x 2
3、 的导数.解 f( x) limx 02 016（x x）2 2 016x2x x x limx 02 016x2 2xx （x）2 2 016x2x (4 032x2 016 x)limx 04 032xx 2 016（x）2x lim x 04 032x.规律方法 解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“ 一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当 x 趋于 0 时，k x(kR)，(x) n(nN *)等也趋于 0.(3)注意通分、分母(或分子) 有理化、因式分解、配方等技巧的应用.【训练 1】 利用导数的定义求函数 yx 2axb(a，b 为常数)的导数.解 y limx 0（x x
4、）2 a（x x） b （x2 ax b）x limx 0x2 2xx （x）2 ax ax b x2 ax bx limx 02xx ax （x）2x (2xax)2x a.limx 0题型二 利用导数公式求函数的导数【例 2】 求下列函数的导数：(1)ysin ；(2)y 5 x；(3)y ；(4)y ；3 1x3 4x3(5)ylog 3x.解 (1)y0；(2)y(5 x)5 xln 5；(3)y(x 3 )3x 4 ；(4)y( )(x ) x ；4x33434 14 344x(5)y(log 3x) .1xln 3规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运
5、算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.【训练 2】 求下列函数的导数：(1)yx 13；(2)y ；4x(3)ysin x；(4)y .15x2解 (1)y(x 13)13x 131 13x 12；(2)y( )(x ) x 1 x ；4x141414 14 34(3)y(sin x)cos x ；(4)y( )(x ) x 1 x .15x2 25 25 25 25 75考查方向 题型三 利用导数公式求曲线的切线方程方向 1 利用导数求曲线的切线方程【例 31】 求过曲线 ysin x 上点
6、 P 且与在这点处的切线垂直的直线方(6，12)程.解 ysin x ，y cos x，曲线在点 P 处的切线斜率是：(6，12)y|x cos .6 6 32过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 ，23故所求的直线方程为 y (x )，12 23 6即 2x y 0.332 3方向 2 切线方程的综合应用【例 32】 设 P 是曲线 ye x上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离.解 如图，设 l 是与直线 yx 平行，且与曲线 ye x相切的直线，则切点到直线 yx 的距离最小.设与直线 y x 平行的直线 l 与曲线 ye x相切于点 P(x0，y 0).因为 ye x，所以 e
7、x01，所以 x00.代入 ye x，得 y01，所以 P(0，1).所以点 P 到直线 yx 的最小距离为 .|0 1|2 22规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1 是解题的关键.【训练 3】 (1)求曲线 ycos x 在点 A 处的切线方程；(6，32)(2)求曲线 ysin 在点 A 处的切线方程.(2 x) ( 3，12)解 (1)ycos x，ysin x ，y |x= sin .6 6 12曲线在点 A 处的切线方程为 y ，32 12(x 6)即 6x12y6 0.3(2)sin cos x ，(2 x)y(cos x)sin x.曲
8、线在点 A 处的切线的斜率为( 3，12)ksin .( 3) 32切线方程为 y ，12 32(x 3)即 3 x6y 30.3 3课堂达标1.已知 f(x)x 2，则 f(3)等于( )A.0 B.2x C.6 D.9解析 f( x)x 2，f(x)2x ，f(3)6.答案 C2.函数 f(x) ，则 f(3)等于( )xA. B.0 C. D.36 12x 32解析 f( x)( ) ，f(3) .x12x 123 36答案 A3.设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角 的范围是 ( )A. B.0，)0，4 34，)C. D. 4，
9、34 0，4 2，34解析 (sin x )cos x，k lcos x，1tan 1，又0，)， 0，4 34，)答案 A4.曲线 ye x在点(2 ，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.解析 y (ex)e x， ke 2，曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 ye 2e 2(x2) ，即 ye 2xe 2.当 x0 时， ye 2，当 y0 时，x1.S 1|e 2| e2.12 12答案 e2125.已知 f(x) x2，g(x) x 3，若 f(x)g(x )2，则 x_.52解析 因为 f(x)5x，g(x)3x 2，所以 5x3x 22，解得 x1 ，x 22.13答案 或 213课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求 y12sin 2 的导数.因为 y12sin 2 cos x，x2 x所以 y(cos x)sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.