1、2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点 1 双曲线的定义把平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.【预习评价】思考 双曲线定义中，将“小于|F 1F2|”改为“等于|F 1F2|”或“大于| F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示 当距离之差等于|F 1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F
2、 2，当距离之差大于|F 1F2|时，动点的轨迹不存在.知识点 2 双曲线的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)焦点 F1(c，0)，F 2(c，0) F1(0，c )，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2ca，b ，c的关系c2a 2b 2【预习评价】已知双曲线的焦点为 F1( 4，0)，F 2(4，0)，双曲线上一点 P 满足|PF1|PF 2|2，则双曲线的标准方程是 _.解析 由题知 c4，a 1，故 b215，所以双曲线的标准方程为 x2 1.y215答案 x 2 1y215题型一 求双曲线的标准方
3、程【例 1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)经过点 P ，Q ；(3，154) ( 163，5)(2)c ，经过点(5，2)，焦点在 x 轴上.6解 (1)方法一 若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2由于点 P 和 Q 在双曲线上，(3，154) ( 163，5)所以 解得 (舍去).9a2 22516b2 1，2569a2 25b2 1，) a2 16，b2 9，)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为 1( a0，b0)，y2a2 x2b2将 P，Q 两点坐标代入可得22516a2 9b2 1，25a2 2569b2 1，)解得 a2 9，b2
4、 16，)所以双曲线的标准方程为 1.y29 x216综上，双曲线的标准方程为 1.y29 x216方法二 设双曲线方程为 1(mn0，b0).x2a2 y2b2则有 解得a2 b2 6，25a2 4b2 1，) a2 5，b2 1，)所求双曲线的标准方程为 y 21.x25方法二 焦点在 x 轴上， c ，6设所求双曲线方程为 1(其中 00，b0) ，x2a2 y2b2将点(4 ，2)和(2 ，2 )代入方程得6 216a2 4b2 1， 24a2 8b2 1， )解得 a28，b 24，所以双曲线的标准方程为 1.x28 y24考查方向题型二 双曲线定义的应用方向 1 利用双曲线的定义求
5、轨迹(方程)【例 21】 已知圆 C1：(x3) 2y 21 和圆 C2： (x3) 2y 29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.解析 如图，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切的条件得|MC1|AC 1|MA|，|MC2|BC 2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC 1|AC 1|MC 2|BC 2|，即|MC 2|MC 1|2，这表明动点 M 与两定点C2，C 1 的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与C1 的距离小 )，这里 a1，c3，
6、则 b28，动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2 1(x1).y28答案 x 2 1(x1)y28方向 2 双曲线中的焦点三角形问题【例 22】 已知 F1，F 2 是双曲线 1 的两个焦点.x29 y216(1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离；(2)如图，若 P 是双曲线左支上的点，且 |PF1|PF2|32，试求F 1PF2 的面积.解 双曲线的标准方程为 1，x29 y216故 a3，b4，c 5.a2 b2(1)由双曲线的定义得|MF 1| MF2|2a6，又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等
7、于 x，则|16x|6，解得x10 或 x22.故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22.(2)将|PF 2|PF 1|2a6 两边平方得|PF1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|36，|PF 1|2|PF 2|2362|PF 1|PF2|36232100.在F 1PF2 中，由余弦定理得cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 0，且 0 F1PF2180，100 100232F 1PF2 90，S F 1PF2 |PF1|PF2| 3216.12 12规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距
8、离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF 2|2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 ca).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF 2|2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.【训练 2】 已知双曲线 1 的左、右焦点分别是 F1，F 2，若双曲线上一x29 y216点 P 使得F 1PF260，求F 1PF2 的面积.解 由 1 得，a 3，b4，c 5.x29 y216由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1
9、|PF 2|6 ，|F1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos 60，所以 102(|PF 1|PF 2|)2| PF1|PF2|，所以|PF 1|PF2|64，所以 SF1PF2 |PF1|PF2|sinF 1PF212 64 16 .12 32 3题型三 与双曲线有关的轨迹问题【例 3】 如图，在ABC 中，已知|AB| 4 ，且三个内角 A，B，C 满足 2sin 2Asin C 2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程.解 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2 ，0)，B(2 ，
10、0).2 2由正弦定理得 sin A ，sin B ，sin C (R 为ABC 的外接圆半径).|BC|2R |AC|2R |AB|2R2sin Asin C 2sin B，2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC| |AB| 2 ).x22 y26 2规律方法 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.【训练 3】 如图所示，已知定圆 F1：(x 5) 2y 21，定圆 F2：(x 5)2
11、y 24 2，动圆 M 与定圆 F1，F 2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.解 圆 F1：( x5) 2y 21，圆心 F1(5，0)，半径 r11；圆 F2：(x5) 2y 24 2，圆心 F2(5，0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有|MF 1|R1，|MF 2|R4，|MF 2|MF 1|3b 不一定成立.要注意与椭圆中 a，b，c 的区别.在椭圆中 a2b 2c 2，在双曲线中 c2a 2b 2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于 a，b，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny 21 (mn0) 的形式求解 .