1、2.1.2 椭圆的简单几何性质 (一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象.知识点 椭圆的几何性质(1)椭圆的几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围axa，byb，bx bay a顶点A1(a，0)，A 2(a，0) ，B1(0，b)，B 2(0，b)A1(0， a)，A 2(0，a)，B1( b，0)，B 2(b，0)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 ( ，0)a2 b2 (0， )a2 b2焦
2、距 |F1F2|2 a2 b2对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点离心率 e (0，1)ca(2)离心率的作用当椭圆的离心率越接近 1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近 0，则椭圆越接近于圆.题型一 椭圆的简单几何性质【例 1】 求椭圆 25x2 y225 的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标 .解 把已知方程化成标准方程为 x 21，y225则 a5，b1.所以 c 2 ，25 1 6因此，椭圆的长轴长 2a10，短轴长 2b2，两个焦点分别是 F1(0， 2 )，F 2(0，2 )，6 6椭圆的四个顶点分别是 A1(0，5)，A 2(0，5)，B 1(1，0)，B 2(1，0).规律方
3、法 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.【训练 1】 求椭圆 m2x24m 2y21 (m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的方程 m2x24m 2y21 (m0)可转化为 1.x21m2y214m2m 2 ，1m2 14m2椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a ，短半轴长 b ，半焦距长 c1m 12m.32m椭圆的长轴长 2a ，短轴长 2b ，2m 1m焦点坐标为 ， ，( 32m，0) ( 32m，0)顶点坐标为 ， ， ， .(1m，0
4、) ( 1m，0) (0， 12m) (0，12m)离心率 e .ca32m1m 32题型二 由椭圆的几何性质求方程【例 2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为 8；12(2)已知椭圆的离心率为 e ，短轴长为 8 .23 5解 (1)由题意知， 2c8，c4，e ，a8，ca 4a 12从而 b2a 2c 248，椭圆的标准方程是 1.y264 x248(2)由 e 得 c a，ca 23 23又 2b8 ，a 2b 2c 2，所以 a2144，b 280，5所以椭圆的标准方程为 1 或 1.x2144 y280 x280
5、y2144规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定 a，b，这就是我们常用的待定系数法.【训练 2】 椭圆过点(3，0)，离心率 e ，求椭圆的标准方程.63解 所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3，0) ，点(3 ，0) 为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在 x 轴上时， (3，0) 为右顶点，则 a3.e ，c a 3 ，ca 63 63 63 6b 2a 2c 23 2( )2 963，6椭圆的标准方程为 1.x29 y23当椭圆的焦点在 y 轴上时， (3，0) 为右顶点，则 b
6、3.e ，c a，ca 63 63b 2a 2c 2a 2 a2 a2，23 13a 23b 227，椭圆的标准方程为 1.y227 x29综上可知，椭圆的标准方程是 1 或 1.x29 y23 y227 x29考查方向题型三 求椭圆的离心率方向 1 求离心率的值【例 31】 已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，x2a2 y2b2右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 |F1F2|，求椭66圆 C 的离心率.解 由题意知 A(a，0)，B(0，b)，从而直线 AB 的方程为 1，即xa ybbxayab0，又|F 1F2|2c， c.b
7、2a 2c 2，3a 47a 2c22c 40，aba2 b2 63解得 a22c 2 或 3a2c 2(舍去 )， e .22方向 2 求离心率的取值范围【例 32】 已知椭圆 1(ab0)的两个焦点分别为 F1，F 2，斜率为x2a2 y2b2k 的直线 l 过左焦点 F1 且与椭圆的交点为 A，B ，与 y 轴的交点为 C，且 B 为线段 CF1 的中点，若|k| ，求椭圆离心率 e 的取值范围.142解 依题意得 F1(c ，0)，直线 l：yk(x c)，则 C(0，kc).因为点 B 为 CF1 的中点，所以 B .( c2，kc2)因为点 B 在椭圆上，所以 1，( c2)2 a
8、2(kc2)2 b2即 1.c24a2 k2c24（a2 c2）所以 1.e24 k2e24（1 e2）所以 k2（4 e2）（1 e2）e2由|k| ，得 k2 ，142 72即 ，（4 e2）（1 e2）e2 72所以 2e417 e280.解得 e 2812因为 0e1 ，所以 e 21，即 e 112 22规律方法 求椭圆离心率的方法：直接求出 a 和 c，再求 e ，也可利用 e 求解.ca 1 b2a2若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求ca解.【训练 3】 已知
9、椭圆 C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的 5 倍，且经过点 A(5，0)，求椭圆 C 的离心率 .解 若焦点在 x 轴上，得解得2a 52b，25a2 0b2 1，) a 5，b 1，)c 2 ，a2 b2 52 12 6e ；ca 265若焦点在 y 轴上，得 2a 52b，0a2 25b2 1，)得 c 10 ，a 25，b 5，) a2 b2 252 52 6e .ca 10625 265故椭圆 C 的离心率为 .265课堂达标1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为( )A.(13，0) B.(0，10)C.(0，13) D.(0
10、， )69解析 由题意知椭圆的焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则c ，故焦点坐标为(0， ).a2 b2 69 69答案 D2.如图，直线 l：x2y 20 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B，该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.15 25 55 255解析 x 2y20， y x1，从而 ，12 bc 12即 ， ， .a2 c2c2 12 a2c2 54 ca 255答案 D3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.45 35 25 15解析 由题意有，2a2c2(2b) ，即 ac2b，又 c2a 2b 2，消去
11、b 整理得 5c23a 22ac，即 5e22e30，e 或 e1(舍去).35答案 B4.若焦点在 y 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m 的值为_.x2m y22 12解析 焦点在 y 轴上， 0 m2，a ，b ，c ，2 m 2 m又 e ，ca 12 ，解得 m .2 m2 12 32答案 325.椭圆 25x2 9y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次为_.解析 由题意，将椭圆方程化为标准方程为 1，y225 x29由此可得 a5，b3，c4，2a10，2b6，e .45答案 10，6，45课堂小结1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 E.焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.