1、1.2.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点 1 充要条件一般地，如果既有 pq，又有 qp 就记作_pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件.概括地说，如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件.【预习评价】思考 (1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p 是 q 的充要条件 ”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里？提示 (1)正确 .若 p 是
2、 q 的充要条件，则 pq，即 p 等价于 q，故此说法正确.(2)p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论.p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论.知识点 2 常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若 p，则 q”，逆命题为“若 q，则 p”，那么 p 与 q 的关系有以下四种情形：原命题 逆命题 p 与 q 的关系真 真p 是 q 的充要条件q 是 p 的充要条件真 假p 是 q 的充分不必要条件q 是 p 的必要不充分条件假 真p 是 q 的必要不充分条件q 是 p 的充分不必要条件假 假p 是 q 的既不充分也不必要条件q 是 p 的既不充分也不必要条件【预
3、习评价】若 x，yR，则“xy”是“|x| |y|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 当 x y 时，|x |y| 显然成立；若|x| |y|，则 xy 或 xy ，所以“xy”是“|x |y |”的充分不必要条件.答案 A知识点 3 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 BA，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要
4、条件其中 p：A x|p(x)成立，q：Bx| q(x)成立.【预习评价】若“xa”是 “x2”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_.解析 由题意知x|x a x|x2，所以 a2.答案 (，2)题型一 充要条件的判断【例 1】 (1)“x 1”是“x 22x10”的( )A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析 解 x2 2x10 得 x1，所以“x1”是 “x22x10”的充要条件.答案 A(2)判断下列各题中，p 是否为 q 的充要条件？在ABC 中，p：A B，q：sin Asin B；若 a，bR，p：a 2b 20，q：ab0；p
5、：|x|3 ， q：x 29.解 在ABC 中，显然有A B sin Asin B，所以 p 是 q 的充要条件.若 a2b 20，则 ab0，即 pq；若 ab0，则 a2b 20，即 qp，故 pq，所以 p 是 q 的充要条件.由于 p：|x|3 q：x 29，所以 p 是 q 的充要条件.规律方法 判断 p 是 q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 pq 及 qp 这两个命题是否成立.若 pq 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件；若qp 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件；若二者
6、都成立，则p 与 q 互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 pq 及qp 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.【训练 1】 (1)a，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab0 B.ab0C.a2 b20 D.a2b 20(2)“函数 yx 22xa 没有零点”的充要条件是_.解析 (1)a 2 b20，则 a， b 不同时为零；a，b 中至少有一个不为零，则a2b 20.(2)函数没有零点，即方程 x22xa0 无实根，所以有 44a0，（x1 1）（x2 1）0， )
7、 k 14，（x1 x2） 20，x1x2 （x1 x2） 10.)即k 14， （2k 1） 20，k2 （2k 1） 10，)解得 k0.设方程 x2(2k 1) xk 2 0 的两个根为 x1，x 2，则(x 11)(x 21)x 1x2(x 1x 2)1k 22k11k(k2)0.又(x 11)(x 21)(x 1 x2)2(2 k1)22k10，x 110，x 210.x 11，x 21.综上可知，方程 x2(2k 1)xk 20 有两个大于 1 的根的充要条件为 k0，y y， ，则 p 是 q 的_条件.1x1y解析 当 x0，y y 且 成立，1x1y当 xy 且 时，得 1x1y x y0，x yxy 0，y0.)所以 p 是 q 的充要条件.答案 充要课堂小结1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：p 是 q 的充要条件，则由 pq 证的是充分性，由 qp 证的是必要性；p 的充要条件是 q，则由 pq 证的是必要性，由 qp 证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.