1、2.1.2 椭圆的简单几何性质 (二)学习目标 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.知识点 1 点与椭圆的位置关系点 P(x0，y 0)与椭圆 1(ab0) 的位置关系：x2a2 y2b2点 P 在椭圆上 1；点 P 在椭圆内部 1.【预习评价】已知点 P(m， 1)在椭圆 1 的外部，则实数 m 的取值范围是_.x24 y23解析 由题意可知 1，m24 13解得 m 或 m .263 263答案 ( ， 263) (263， )知识点 2 直线与椭圆的位置关系直线 ykxm 与椭圆 1(ab0)的位置关系判断方法：联立x2a2 y2
2、b2y kx m，x2a2 y2b2 1.)消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程位置关系 解的个数 的取值相交 两解 0相切 一解 0相离 无解 b0) 或x2a2 y2b2 1( ab0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，y2a2 x2b2则|AB| ，（x1 x2）2 （y1 y2）2所以|AB| （x1 x2）2 （kx1 kx2）2 1 k2（x1 x2）2 ，1 k2（x1 x2）2 4x1x2或|AB| (1ky1 1ky2)2 （y1 y2）2 1 1k2（y1 y2）2 1 1k2（y1 y2）2 4y1y2其中，x 1x 2，x 1x2
3、 或 y1y 2，y 1y2 的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程求得.【预习评价】若直线 yx1 和椭圆 y 21 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为_.x24解析 由 得 5x28x 20.设 A(x1，y 1)，x24 y2 1，y x 1 )B(x2，y 2)，则 x1x2 ，x 1x 2 ，所以|AB| .25 85 1 12 （ 85）2 425 453答案 453题型一 直线与椭圆的位置关系【例 1】 在椭圆 1 上求一点 P，使它到直线 l：3x2y160 的距离x24 y27最短，并求出最短距离.解 设与椭圆相切并
4、与 l 平行的直线方程为 y xm ，32代入 1，x24 y27并整理得 4x23mx m 2 70，9m 216(m 27) 0m216m4，故两切线方程为 y x4 和 y x4，32 32显然 y x4 距 l 最近，所求最小距离为32d .|16 8|32 （ 2）2 813 81313由 得x24 y27 1，y 32x 4) x 32，y 74，)即切点为 P .(32， 74)规律方法 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交 0；(2)直线与
5、椭圆相切 0；(3)直线与椭圆相离 0，又 x1x 2 4，解得 k ，满足 0.16k2 8k1 4k2 12直线方程为 x2y 4 0.方法二 设弦的两个端点分别为 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 x1x 24，y 1y 22，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在椭圆上，故有 x 4y 16，x 4y 16，21 21 2 2两式相减得(x 1x 2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0，点 M(2，1)是 PQ 的中点，故 x1x 2，两边同除以(x 1x 2)得，(x 1x 2)4(y 1y 2) 0，即 48k0，k .y1 y2x1 x2 12弦所
6、在的直线方程为 y1 (x2)，12即 x2y40.规律方法 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.【训练 2】 已知点 P(4， 2)是直线 l 被椭圆 1 所截得的线段的中点，x236 y29求直线 l 的方程.解 由题意可设直线 l 的方程为 y2k (x4)，而椭圆的方程可以化为 x24y 2360.将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x 28k(4k 2)x4(4k2) 2360.所以 x1x 2 8，所以 k (满足方程中
7、的 0).8k（4k 2）4k2 1 12所以直线 l 的方程为 y2 (x4)，12即 x2y80.典例迁移题型三 椭圆中的最值(或范围) 问题【例 3】 已知椭圆 4x2 y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由 4x2 y2 1，y x m )得 5x22mxm 210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m 220(m 21) 0，解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 22mxm 210，所以 x1x 2 ，x 1x2 (m21
8、)，2m5 15所以|AB| （x1 x2）2 （y1 y2）2 2（x1 x2）2 2（x1 x2）2 4x1x2 .24m225 45（m2 1） 2510 8m2所以当 m0 时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为 yx .【迁移 1】 若例 3 中的直线“yx m”换为“y kx ”，其余不变，判断12直线与椭圆的位置关系.解 由于直线 ykx 恒过点(0， )，把(0， )代入 4x2y 2知 40 1，12 12 12 (12)2 故点(0 ， )在椭圆 4x2y 21 内部，故直线 ykx 和椭圆 4x2y 21 相交.12 12【迁移 2】 若椭圆 1(ab0)
9、与直线 yx 交于 A，B 两点，且|AB|x2a2 y2b2，求 的值.2105 1a2 1b2解 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得 x1 y 1，x 2y 2x2a2 y2b2 1，y x ) a2b2a2 b2 ，故|AB |2( x1 x2)2(y 1y 2)22(x 1x 2)a2b2a2 b222 ，即 ，所以 5.(2 a2b2a2 b2)2 8a2b2a2 b2 4025 a2b2a2 b2 15 1a2 1b2规律方法 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用
10、转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.【训练 3】 如图，点 A 是椭圆 C： 1(ab0)的短轴位于 y 轴下方的端x2a2 y2b2点，过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BPx 轴， 9.AB AP (1)若点 P 的坐标为(0，1)，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围解 直线 AB 的斜率为 1，BAP 45 ，即BAP 是等腰直角三角形，| | | |.AB 2AP 9，AB AP | | |c
11、os 45 | |2cos 459，AB AP 2AP | |3.AP (1)P(0，1)，| |1，| |2，OP OA 即 b2，且 B(3，1).B 在椭圆上， 1，得 a212，9a2 14椭圆 C 的标准方程为 1.x212 y24(2)由点 P 的坐标为(0，t)及点 A 位于 x 轴下方，得点 A 的坐标为(0，t 3)，t3b，即 b3t.显然点 B 的坐标是(3 ，t )，将它代入椭圆方程得： 1，解得 a2 .9a2 t2（3 t）2 3（3 t）23 2ta 2b20， (3t) 20.3（3 t）23 2t 1，即 1 0，33 2t 33 2t 2t3 2t所求 t
12、的取值范围是 01 B.m1 且 m3C.m3 D.m0 且 m3解析 由 (3m)x 24mx m0，y x 2，x2m y23 1)16m 24m(3m)0，m1 或 m0 且 m3，m1 且 m3.答案 B2.已知椭圆的方程为 2x2 3y2m(m0) ，则此椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.13 33 22 12解析 将方程化为标准方程 1，x2m2y2m3因为 m0，所以 a2 ，b 2 ，m2 m3所以 c2a 2 b2 ，m2 m3 m6所以 e .cam6m2 13 33答案 B3.椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，弦 AB 过 F1，若ABF 2 的内切x
13、225 y216圆周长为 ，A，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，则|y 1y 2|的值为( )A. B. C. D.53 103 203 53解析 易知ABF 2的内切圆的半径 r ，根据椭圆的性质结合ABF 2的特点，12可得ABF 2的面积 S lr 2c|y1y 2|，其中 l 为ABF 2的周长，且12 12l4a，代入数据解得|y 1y 2| .53答案 A4.椭圆 x24y 236 的弦被 A(4，2)平分，则此弦所在的直线方程为( )A.x2y0 B.x2y40C.2x3y 140 D.x2y80解析 设以 A(4，2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于 E(
14、x1，y 1)，F (x2，y 2)，A(4，2)为 EF 中点，x 1x 28，y 1y 24，把 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)分别代入椭圆 x24y 236 中，得则得(x 1x 2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0，8(x 1x 2)16(y 1y 2)0，k ，y1 y2x1 x2 12以 A(4，2)为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为 y2 (x4)，12整理得，x 2y80.答案 D5.已知 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，满足 0 的点 M 总在椭圆内部，则MF1 MF2 椭圆离心率的取值范围是_.解析 设 M(x，y)， 0，MF1 MF2 点 M 的轨迹方程是 x2 y2c 2，点 M 的轨迹是以原点为圆心的圆，其中 F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点 P 总在圆外，所以|OP|c 恒成立，由椭圆性质知|OP|b，b c，a 22c2， ， 0e .(ca)2 12 22答案 0 e22课堂小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为 x1x 2，x 1x2 或 y1y 2，y 1y2，进而求解.