1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点 1 椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)已知点 F1(1，0)，F 2(1，0)，动点 P 满足|PF 1|PF 2|4，则点 P 的轨迹是椭圆.( )(2)已知点 F1(1，0)，F 2(1，0)，动点 P 满足
2、|PF 1|PF 2|2，则点 P 的轨迹是椭圆.( )(3)已知点 F1(0，1)，F 2(0，1)，动点 P 满足|PF 1|PF 2|1，则点 P 的轨迹是椭圆.( )提示 (1)由于 |F1F2|2，| PF1| PF2|4|F 1F2|，根据椭圆的定义可知点 P 的轨迹是椭圆，故(1)正确.(2)因为|PF 1|PF 2|F 1F2|，所以点 P 的轨迹是线段 F1F2，故(2)不正确.(3)因为|PF 1|PF 2|F 1F2|，所以点 P 的轨迹不存在.答案 (1) (2) (3)知识点 2 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1 (ab0)x2a2 y2b
3、2 1 (ab0)y2a2 x2b2焦点 (c，0)，( c，0) (0，c)，(0 ，c )a，b， c的关系c2a 2b 2 c2a 2b 2【预习评价】已知两定点 F1(0，2)，F 2(0，2)，动点 P 满足| PF1|PF 2|8，则点 P 的轨迹方程是_.解析 由题意知点 P 的轨迹是椭圆，焦点在 y 轴上，其中 c2，a4，故b2a 2c 2 12，故点 P 的轨迹方程为 1.x212 y216答案 1x212 y216题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程【例 1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4，0) ，(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距
4、离的和是 10；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 1(ab0).x2a2 y2b2因为 2a10，所以 a5.又因为 c4，所以 b2a 2c 25 24 29.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1(ab0).y2a2 x2b2因为椭圆经过点(0，2) 和(1 ，0) ，所以4a2 0b2 1，0a2 1b2 1，)a2 4，b2 1，)故所求椭圆的标准方程为 x 21.y24规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位
5、置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要注意 ab0 这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 Ax2By 21(A0，B 0，A B)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.【训练 1】 求焦点在坐标轴上，且经过 A( ，2)和 B(2 ，1)两点的椭圆3 3的标准方程.解 方法一 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0) ，x2a2 y2b2依题意有 解得（3）2a2 （
6、2）2b2 1，（ 23）2a2 12b2 1，) a2 15，b2 5. )故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0) ，y2a2 x2b2依题意有 解得（ 2）2a2 （3）2b2 1，12a2 （ 23）2b2 1，) a2 5，b2 15.)此时不符合 ab0，所以方程组无解 .故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2By 21(A0，B0 且 AB)，依题意有 解得3A 4B 1，12A B 1，) A 115，B 15. )故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25考查方向 题型二
7、 椭圆定义的应用方向 1 椭圆定义的直接应用【例 21】 如图所示，已知过椭圆 1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于x225 y216x 轴，交椭圆于 A，B 两点，F 1 是椭圆的左焦点.求 AF 1B 的周长.解 如题图所示，由题意知，点 A，B 在椭圆 1 上，x225 y216故有|AF 1|AF 2|2a10 ，| BF1| BF2|2a10，|AF2|BF 2|AB |，所以AF 1B 的周长为|AF 1| BF1| AB|AF 1|BF 1|AF 2|BF 2|(| AF1|AF 2|)(|BF 1|BF 2|)2a2a20.方向 2 椭圆中的焦点三角形问题【例 22】 已知
8、点 P 是椭圆 1 上的一点，F 1，F 2 分别是椭圆的两个y25 x24焦点，且F 1PF230，求F 1PF2 的面积.解 由椭圆方程 1 可得 a ，b2，c 1.y25 x24 5 a2 b2又|F 1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cosF 1PF2(| PF1|PF 2|)22|PF 1|PF2|2| PF1|PF2|cos 30，4(2 )2(2 )|PF1|PF2|，5 3|PF 1|PF2|16(2 ).3S F 1PF2 |PF1|PF2|sin 3084 .12 3规律方法 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决
9、这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF 1|PF2|看作一个整体来处理.【训练 2】 已知两定点 F1(1，0)，F 2(1，0)，动点 P 满足|PF1|PF 2|2|F 1F2|.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若F 1PF2120 ，求PF 1F2 的面积.解 (1)依题意知 |F1F2|2，|PF1|PF 2|2|F 1F2|42|F 1F2|，点 P 的轨迹是以 F1，F 2 为焦点的椭圆，且
10、2a4，2c 2，a 2，c 1，b ，3故所求点 P 的轨迹方程为 1.x24 y23(2)设 m|PF 1|，n|PF 2|，则 mn2a4.在PF 1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2m 2 n22mncos F1PF2，4(mn) 22mn(1cos 120)，解得 mn12.S PF1F2 mnsinF 1PF2 12sin 1203 .12 12 3题型三 与椭圆有关的轨迹问题【例 3】 已知 B，C 是两个定点，|BC |8，且ABC 的周长等于 18.求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程.解 以过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角
11、坐标系 xOy，如图所示.由|BC|8 可知点 B(4， 0)，C(4，0).由|AB|AC| |BC|18 得 |AB| AC|108|BC| ，因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a10，但点 A 不在 x 轴上.由 a5，c 4，得 b2a 2c 22516 9.所以点 A 的轨迹方程为 1( y0).x225 y29规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.【训练 3】 已知圆 A：(x 3) 2y 2100，圆 A 内一定点 B(3，0)，圆 P 过点B 且与圆 A 内
12、切，求圆心 P 的轨迹方程.解 如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过点 B，|PB|r .又圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10，两圆的圆心距|PA|10 r，即|PA|PB|10(大于| AB|6).圆心 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆.2a10 ，2c|AB |6.a5，c 3，b 2a 2 c225916.圆心 P 的轨迹方程为 1.x225 y216课堂达标1.设 F1，F 2 为定点，| F1F2|6，动点 M 满足| MF1|MF 2|6，则动点 M 的轨迹是( )A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段解析 |MF 1|MF 2|6 | F1F2|，动点 M 的
13、轨迹是线段.答案 D2.已知椭圆 4x2ky 24 的一个焦点坐标是(0，1)，则实数 k 的值是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由题意得，椭圆标准方程为 x2 1，y24k又其一个焦点坐标为(0，1)，故 11，解得 k2.4k答案 B3.设 P 是椭圆 1 上一点，P 到两焦点 F1，F 2 的距离之差为 2，则x216 y212PF1F2 是 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解析 根据椭圆的定义知|PF 1|PF 2|8.又|PF 1|PF 2|2，所以|PF 1|5，| PF2|3.而|F 1F2|4，所以|F 1F2|2 |PF2|2|
14、PF 1|2，所以PF 1F2 是直角三角形，故选 B.答案 B4.“mn0”是 “方程 mx2 ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 方程可化为 1.x21my21n若 mn0，则 0 0，可得 mn0.1n 1m答案 C5.已知椭圆 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1，F 2 的连线夹角为直角，则x249 y224|PF1|PF2|_.解析 依题意知，a7，b2 ，c 5，6 49 24|F1F2|2c10.由于 PF1PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2 |PF2|2| F1F2|2，即|PF 1|2|PF 2|2100.又由椭圆定义知|PF 1|PF 2|2a14，(| PF1|PF 2|)22|PF 1|PF2|100，即 1962|PF 1|PF2|100.解得|PF 1|PF2|48.答案 48课堂小结1.平面内到两定点 F1，F 2 的距离之和为常数，即|MF 1| MF2|2a，当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当 2a|F 1F2|时，轨迹是一条线段 F1F2；当 2a0，B0，AB)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.