1、1.3 简单的逻辑联结词学习目标 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点 1 且或非(1)且 “p 且 q”就是用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到的新命题，记作 pq.(2)或 “p 或 q”就是用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到的新命题，记作 pq.(3)非 一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非 p”或“p 的否定”.【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“x1”是“p
2、且 q”的形式.( )(2)命题“三边长分别为 1，1，2 的三角形是等腰直角三角形”是“p 或 q”的形式.( )(3)“x，y 全都大于 0”的否定是“x，y 全不大于 0”.( )提示 (1)命题 “x1”是“x1 或 x1”，是 p 或 q 的形式，故(1)错.(2)“等腰直角三角形 ”是指既是等腰三角形，且是直角三角形，是“p 且 q”的形式，故(2)错.(3)“x，y 全都大于 0”的否定应是“x，y 不全都大于 0”，故(3)错.答案 (1) (2) (3)知识点 2 含有逻辑联结词的命题的真假判断p q pq pq p真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假
3、 假 假 真【预习评价】思考 (1)逻辑联结词 “或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？提示 (1)生活用语中的 “或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一 pq 命题及 pq 命题【例 1】 分别写出下列命题构成的“pq”“pq”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数 y3x 2 是偶函数，q：函数 y3x 2 是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p： 是无理数，
4、q： 是实数；3 3(4)p：方程 x22x10 有两个相等的实数根，q ：方程 x22x10 两根的绝对值相等.解 (1)pq：函数 y3x 2 是偶函数且是增函数；p 真，q 假，pq 为假.pq：函数 y3x 2 是偶函数或是增函数；p 真，q 假，pq 为真.(2)pq：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；p 真，q 真，pq 为真.pq：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；p 真，q 真，pq 为真.(3)pq： 是无理数且是实数；3p 真，q 真，pq 为真.pq： 是无理数或是实数；3p 真，q 真，pq 为
5、真.(4)pq：方程 x22x10 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；p 真，q 真，pq 为真.pq：方程 x22x 10 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p 真，q 真，pq 为真.规律方法 (1)判断 pq 形式的命题的真假，首先判断命题 p 与命题 q 的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断 pq 形式的命题的真假，首先判断命题 p 与命题 q 的真假，只要有一个为真，即可判定 pq 形式命题为真，而 p 与 q 均为假命题时，命题 pq 为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.【训练 1】 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男
6、生且是高一学生.(2)方程 2x210 没有实数根.(3)12 能被 3 或 4 整除.解 (1)是“p 且 q”形式.其中 p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非 p”形式.其中 p：方程 2x210 有实根.(3)是“p 或 q”形式.其中 p：12 能被 3 整除；q：12 能被 4 整除.题型二 p 命题【例 2】 写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若 m2n 2 0，则实数 m，n 全为零；(3)若 xy0，则 x0 或 y0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若 m2n 2 0，则实数 m，n 不全为零.(3)若 xy0，
7、则 x0 且 y0.规律方法 p 是对命题 p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“pq”的否定是“(p) (q)” 等.【训练 2】 写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y sin x 是周期函数；(2)p：32；(3)p：空集是集合 A 的子集；(4)p：5 不是 75 的约数.解 (1)p： y sin x 不是周期函数 .命题 p 是真命题，p 是假命题；(2)p：32. 命题 p 是假命题，p 是真命题；(3)p：空集不是集合 A 的子集.命题 p 是真命题， p 是假命题；(4)p：5 是 75 的约
8、数.命题 p 是假命题，p 是真命题.互动探究 题型三 pq、pq、p 命题的综合应用【探究 1】 若“pq”与“p”同时为真命题，那么能否判定命题 p 与 q 的真假？解 由“p”是真命题可知 p 是假命题，又因为“pq”是真命题，所以 q 是真命题.【探究 2】 若“pq”为真命题，“pq”为假命题，能否判定命题 p 与 q的真假？解 不能判定，只能得到 p 与 q 其中一个是真命题，另一个是假命题.【探究 3】 已知 c0，设 p：函数 yc x在 R 上单调递减，q：曲线y4x 24c(x )c 21 与 x 轴交于不同的两点，若“pq”为真命题，12“pq”为假命题，求 c 的取值范
9、围.解 方法一 函数 y cx在 R上单调递减，00.解得 c ，令 B .12 c|c12根据题意，如果 p 真，q 假，则 00 得 a2 或 a2或 a1 或 13；方程 x22 x40 的判别式大于或等于 0；25 是 6 或 5 的倍数；集合 AB 是 A 的子集，且是 AB 的子集.其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由于 21 是真命题，所以“21 或 13”是真命题；由于方程 x22x 40 的 4160 ，所以“方程 x22x40 的判别式大于或等于 0”是真命题；由于 25 是 5 的倍数，所以命题“25 是 6 或 5 的倍数”是真命题；由于(A
10、B) A，(AB)(AB)，所以命题“集合 AB 是 A 的子集，且是AB 的子集”是真命题.答案 D3.已知命题 p1：函数 y2 x2 x 在 R 上为增函数，p2：函数 y 2x2 x 在 R 上为减函数.则在命题 q1：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：(p 1)p 2 和 q4：p 1(p 2)中，为真命题的是( )A.q1，q 3 B.q2，q 3 C.q1，q 4 D.q2，q 4解析 p 1 是真命题，则p 1 为假命题；p 2 是假命题，则p 2 为真命题；q 1：p 1p 2 是真命题，q 2：p 1p 2 是假命题，q3：( p1)p 2 为假命题，q 4：p
11、1(p 2)为真命题.为真命题的是 q1，q 4.答案 C4.已知命题 p：1x|(x2)(x3)0”是“ x20”的必要不充分条件，命题 q：ABC 中，“A B”是“sin Asin B”的充要条件，则( )A.p 真 q 假 B.pq 为真 C.pq 为假 D.p 假 q 真解析 命题 p 假，命题 q 真.答案 D课堂小结1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题 p，q 的真假.(2)根据“且”“ 或”的含义判断“pq”，“pq”的真假.pq 为真p 和 q 同时为真，pq 为真p 和 q 中至少一个为真.3.若命题 p 为真，则“p”为假；若 p 为假，则“p”为真，类比集合知识，“p”就相当于集合 p 在全集 U 中的补集 Up.因此(p)p 为假，(p)p 为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.