1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定学习目标 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点 1 全称命题的否定全称命题 p：x M，p(x)，它的否定p：x 0M ， p( x0).【预习评价】已知命题 p：x 2，(x 2)(x1)0，则p 是_.答案 x 02，( x2)(x1)0.知识点 2 特称命题的否定特称命题 p：x 0M ，p(x 0)，它的否定p：x M，p( x).【预习评价】已知命题 p：存在实数 m，使不
2、等式 x2mx 10 成立.则命题 p 的否定是_.答案 对任意的实数 m，不等式 x2mx 10 成立知识点 3 全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“xR，x 211”的否定是全称命题.( )(2)若命题p 是特称命题，则命题 p 是全称命题.( )(3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的.( )提示 (1)由于命题 “xR，x 211”是全称命题，故其否定是特称命题，所以(1)错.(2)由于p 的否定是 p，所以 p 是全称命题.(3)用自然语言描述的全称命题的否定形式不唯一，如“所有的
3、菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.答案 (1) (2) (3)题型一 全称命题的否定【例 1】 写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1， 2，3，4，5 中的每一项都是偶数；(3)a，bR ，方程 axb 都有唯一解；(4)可以被 5 整除的整数，末位是 0.解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5 中至少有一项不是偶数.(3)是全称命题，其否定：a，bR，使方程 axb 的解不唯一或不存在.(4)是全称命题
4、，其否定：存在被 5 整除的整数，末位不是 0.规律方法 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.【训练 1】 写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数 x 都是方程 5x120 的根；(4)对任意实数 x，x 210.解 (1)p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)p：有些自然数的平方不是正数.(3)p：存在实数 x0不是方程 5x0120 的根.(4)p：存在实数 x0，使得 x 11 ，使 x22x 30；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解 (1)p： x1
5、，x 22x30.( 假).(2)p：所有的素数都不是奇数.(假).(3)p：所有的平行四边形都是矩形.(假).规律方法 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即 p：x 0M，p( x0)成立 p：x M，p(x)成立.【训练 2】 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0，y 0Z，使得 x0y 03.2解 (1)命题的否定是 “不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形
6、”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“x ，yZ， xy3”.当 x0，y 3 时， xy 3，因2 2此命题的否定是假命题.互动探究 题型三 特称命题、全称命题的综合应用【探究 1】 (1)已知对任意的 x1，3，都有 mx，求实数 m 的取值范围；(2)已知存在实数 x1，3，使 mx，求实数 m 的取值范围 .解 (1)由于对任意的 x1，3，都有 mx，故只需 m 大于或等于 x 的最大值，即 m3.(2)由于存在实数 x1，3，使 mx，故只需 m 大于或等于 x 的最小值，即m1.【探究 2】 已知函数 f(x)x 22x5.(1)是否存在实数 m，
7、使不等式 mf(x )0 对于任意 xR 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数 x0，使不等式 mf(x 0)0 成立，求实数 m 的取值范围.解 (1)不等式 mf(x )0 可化为 mf(x)，即 mx 22 x5(x 1)24.要使 m( x1) 24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可.故存在实数 m，使不等式 mf(x)0 对于任意 xR 恒成立，此时，只需 m4.(2)不等式 m f(x0)0 可化为 mf(x0)，若存在一个实数 x0，使不等式 mf(x0)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x1) 24，f(x) min4，m4.所求实数 m 的取值范围是(4
8、，)规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数 x，af(x)恒成立，只要 af(x)max；若存在一个实数 x0，使 af(x0)成立，只需 af(x)min.【训练 3】 已知 f(x)3 ax26x1(aR).(1)当 a3 时，求证：对任意 xR，都有 f(x)0；(2)如果对任意 xR，不等式 f(x)4x 恒成立，求实数 a 的取值范围.(1)证明 当 a3 时，f(x )9x 26x1，364(9)( 1)0，且90，对任意 x R，都有 f(x)0.(2)解 f(x)4x 恒成立，3ax 22x10 恒成立
9、.当 a0 时，2x 10，解得 x ，所以 a0 不成立，12当 a0 时，必须 即a100.解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项 C 错误.答案 C4.命题“x 0，)， x3x0”的否定是( )A.x(，0)，x 3x0B.x (， 0)，x 3x0C.x00 ，) ，x x 0030D.x00，)，x x 0030解析 全称命题的否定是特称命题.全称命题：x 0，) ，x 3x0 的否定是特称命题： x00，)，x x 00.30答案 C5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_.解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.答案 有的向量与零向量不共线课堂小结1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.