1、第二章 统计本章小结学习目标1.正确理解随机抽样的概念;掌握抽签法、随机数法的一般步骤; 能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本.2.通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性.3.正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系;通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论的数学方法.4.掌握分层抽样的一般步骤;区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当的方法进行抽样.通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问
2、题的方法.感悟由具体到一般的研究方法,培养归纳概括能力.5.通过实例体会频率分布直方图的特征,能准确地作出对总体的估计.通过对样本分析和总体估计的过程,感受实际生活需要数学,认识数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.6.了解回归方程的建立步骤以及作用.合作学习一、典型题归纳(一)判断抽样方法及其过程【例 1】 某政府机关在编人员共 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 20 人,普通工作人员 70 人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取 20 人进行调查,下列方法最合适的是( )A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样 D.随机数
3、法【例 2】 下列说法正确的个数是( )总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法在总体均分后的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样百货商场的抓奖活动是抽签法整个抽样过程中,每个个体被抽到的机率相等(有剔除时例外)A.1 B.2 C.3 D.4(二)频率分布直方图【例 3】 某中学高一女生共有 450 人,为了了解高一女生的身高情况,随机抽取部分高一女生测量身高,所得数据(单位 :cm)整理后列出频率分布表如下:组别 频数 频率145.5149.5 8 0.16149.5153.5 6 0.12153.5157.5 14 0.28157.5161.5 10 0.20161.5165.5 8 0.
4、16165.5169.5 m n合计 M N(1)求出表中字母 m,n,M,N 所对应的数值 ;(2)画出频率分布直方图;(3)估计该校高一女生身高在 149.5165.5 cm 范围内有多少人?【例 4】 对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:寿命(h) 100200 200300 300400 400500 500600个数 20 30 80 40 30(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率.(三)回归方程【例 5】 下面变量间具有相关关系的是( )A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重 D.铁的大小与质量
5、【例 6】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后,生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤) 的几组对照数据:x(吨 ) 3 4 5 6y(吨标准煤) 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的回归方程;(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 .试根据(2) 求出的回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?二、章末巩固(一)选择题(每小题 4 分,共 48 分)1.学校为了了解高一学生情况,从每班抽 2 人进行座谈;一次数学竞赛中,某班有 10人成绩在
6、110 分以上,40 人成绩在 90100 分,12 人成绩低于 90 分.现从中抽取 12 人了解有关情况;运动会服务人员为参加 400 m 决赛的 6 名同学安排跑道.就这三件事,合适的抽样方法为( )A.分层抽样,分层抽样,简单随机抽样 B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 D.系统抽样 ,分层抽样,简单随机抽样2.下列说法中,正确的是( )数据 4,6,6,7,9,4 的众数是 4 和 6;平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势;平均数是频率分布直方图的“重心”;频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数.A. B. C
7、. D.3.下列各图中的两个变量具有线性相关关系的是( )4.某大学数学系共有本科生 5 000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4321,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生人数为( )A.80 B.40 C.60 D.205.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为 3.2,全年进球数的标准差为 3;乙队平均每场进球数是 1.8,全年进球数的标准差为 0.3.下列说法中,正确的个数为( )甲队的技术比乙队好;乙队发挥比甲队稳定 ;乙队几乎每场都进球 ;甲队的表现时好时坏.A.1 B.2 C.3 D.46.已知 20
8、0 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,时速在60,70)内的汽车辆数大约是( )A.8 B.80C.65 D.707.设有两组数据 x1,x2,xn 与 y1,y2,yn,它们的平均数分别是 ,则新的一组数据 2x1-和 3y1+1,2x2-3y2+1,2xn-3yn+1 的平均数是( )A.2 -3 B.2 -3 +1 C.4 -9 D.4 -9 +1 8.某校高一、高二年级各有 7 个班参加歌咏比赛,他们得分的茎叶图如图所示,对这组数据分析正确的是( )A.高一的中位数大,高二的平均数大B.高一的平均数大,高二的中位数大C.高一的平均数、中位数都大D.高二的平均数、中位
9、数都大9.为了了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下:父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177则 y 对 x 的回归方程为( )A. =x-1 B. =x+1 C. =88+ x D. =176 12 10.某工厂对一批产品进行了抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制了频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为 96,98),98,100),100,102),102,104),104,106.已知样本中产品净重小于 100 g 的个数是 36,则样本
10、中净重大于或等于98 g 并且小于 104 g 的产品个数是( )A.90 B.75C.60 D.4511.为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校高一、高二、高三分别有学生 800 名、600 名、500 名,若从高三学生中共抽取 25 名,则从高一学生中抽取的人数是( )A.30 B.40 C.60 D.7512.某校开展“爱我中华,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示,记分员去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91 分,复核员在复核时,发现有一个数字( 茎叶图中的 x)无法看清 ,若记分员计算无误,则数字 x 应该
11、是( )A.4 B.3 C.2 D.1(二)填空题(每小题 3 分,共 12 分)13.某种产品的广告费支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元 )之间有如下一组数据:x(单位:万元) 2 4 5 6 8y(单位:万元) 30 40 60 50 70则回归方程为 . 14.甲、乙两种冬小麦试验品连续 5 年的平均单位面积产量如下:品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8其中产量比较稳定的小麦品种是 . 15.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分
12、布直方图如图所示.估计这次测试中数学成绩的平均分为 . 16.从某校 1 000 名高一学生中抽取 10 人参加一项主题为“学雷锋,树新风”的志愿者活动.在使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号:如果在起始组中随机抽取的号码为L(编号从 0 开始 ),那么第 K 组 (组号 K 从 0 开始,K= 0,1,2,9)抽取的号码的百位数为组号,后两位数为 L+31K 的后两位数 .若 L=18,则 K=8 时所抽取的样本编号为 . (三)解答题(每小题 10 分,共 40 分)17.某制造商为运动会生产一批直径为 40 mm 的乒乓球,现随机抽样检查 20 个,测得每个球的直径(单位:mm,保
13、留两位小数) 如下:40.02 40.00 39.98 40.00 39.9940.00 39.98 40.01 39.98 39.9940.00 39.99 39.95 40.01 40.0239.98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图;分组 频数 频率 频 率组 距39.95,39.97)39.97,39.99)39.99,40.01)40.01,40.03合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过 0.02 mm 为合格品,若这批乒乓球的总数为 10 000,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数.18.某班甲、乙两学生的高考备考成
14、绩(单位:分)如下:甲:512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙:515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩;(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数.19.农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取 6 株麦苗测量麦苗的株高(单位:cm), 数据如下:甲:9,10,11,12,10,20乙:8,14,13,10,12,21(1)画出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗
15、的长势情况.20.一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果:转速 x(转 秒 -1) 16 14 12 8每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5(1)画出散点图;(2)如果 y 对 x 有线性相关关系,求回归方程;(3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?参考答案一、典型题归纳(一)判断抽样方法及其过程【例 1】 C【例 2】 C(二)频率分布直方图【例 3】 解:(1)由题意得 M= =50,80.16落在区间 165.516
16、9.5 内数据频数 m=50-(8+6+14+10+8)=4,频率为 n=0.08,N=1.00.(2)频率分布直方图如下:(3)该校高一女生身高在 149.5165.5 cm 之间的比例为 0.12+0.28+0.20+0.16=0.76,则该校高一女生在此范围内的人数为 4500.76=342.【例 4】 解:(1)频率分布表如下:寿命(h) 频数 频率100200 20 0.10200300 30 0.15300400 80 0.40400500 40 0.20500600 30 0.15合计 200 1.00(2)频率分布直方图如图:(3)由频率分布表可知,寿命在 400 h 以上的电
17、子元件出现的频率为 0.20+0.15=0.35,故估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率为 0.35.(三)回归方程【例 5】 C【例 6】 解:(1)散点图如图:(2) =4.5, =3.5, =0.7,=4=1-4 4=12-42=66.5-6386-81=3.5-0.74.5=0.35,回归方程为 =0.7x+0.35.(3)90-(0.7100+0.35)=19.65(t),降低了 19.65 吨标准煤.二、章末巩固(一)选择题1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.B 7.B 8.A 9.C 10.A 11.B 12.D(二)填空题13. =6.5x+17.5 14.甲 1
18、5.72 16.866(三)解答题17.解:(1)分组 频数 频率 频 率组 距39.95,39.97) 2 0.10 539.97,39.99) 4 0.20 1039.99,40.01) 10 0.50 2540.01,40.03 4 0.20 10合计 20 1.00 50(2)抽样的 20 个产品中在39 .98,40.02范围内的有 18 个,合格率为 100%=90%,182010 00090%=9 000(个).即根据抽样检查结果可以估计这批产品的合格数为 9 000.18.解:(1)两学生成绩的茎叶图如图所示:(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为甲:512 522 528
19、534 536 538 541 549 554 556乙:515 521 527 531 532 536 543 548 558 559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 =537(分),536+5382乙学生成绩的中位数为 =534(分).532+5362甲学生成绩的平均数为500+ =537(分),12+22+28+34+36+38+41+49+54+5610乙学生成绩的平均数为500+ =537(分) .15+21+27+31+32+36+43+48+58+591019.解:(1)茎叶图如图所示:(2) =12(cm),甲 =9+10+11+12+10+206=13(cm),乙 =8+1
20、4+13+10+12+21613.67, 16.67.因为 ,所以乙种麦苗平均株高较高,又因为 ,所以甲种2甲 2乙 甲 乙 2甲 2乙麦苗长得较为整齐.20.解:(1)散点图如下:(2)由散点图可知,两变量之间具有线性相关关系.列表,计算 :i 1 2 3 4xi 16 14 12 8yi 11 9 8 5xiyi 176 126 96 40x2i 256 196 144 64=12.5, =8.25, =660, xiyi=4x y4i=1x2i4i=138设所求回归方程为 x+ ,则由上表可得= ,=438-412.58.25660-412.52 =25.535=5170=8.25- 12.5=- . 5170 67所以回归方程为 x- .=517067(3)由 y10,得 x- 10,解得 x14.9,所以机器的运转速度应控制在 14.9 转/秒内.517067