1、第三章 概 率本章小结学习目标1.利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.2.正确理解并事件与交事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.3.掌握古典概型的概率计算公式及几何概型的概率公式.合作学习一、知识分析(一)本章知识结构(二)要点概述1.频率与概率的意义、区别与联系(1)频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.(2)概率是一个确定的数,与每次试验无关.是用来度量事件发生可能性大小的量 .(3) 2.概率的基本性质(1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0P( A)1;(2)当事件 A 与事件 B 互斥时,满足加法公式: ; (3)若
2、事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 AB 为必然事件,所以 P(AB)= =1,于是有 P(A)= ;(巧妙地运用这一性质可以简化运算 ) (4)互斥事件与对立事件的区别与联系:我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥,而互斥事件不一定是对立事件.3.古典概型(1)正确理解古典概型的两大特点: ; 每个基本事件出现的可能性 . (2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)= . 4.几何概型(1)几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为 模型. (2)几何概型的概率计算公式:P(A)= . (3)几何概型的特点:试验中所
3、有可能出现的结果(基本事件) 有 个; 每个基本事件出现的可能性 . 5.古典概型和几何概型的区别相同:两者基本事件的发生都是 的; 不同:古典概型要求基本事件有 个,几何概型要求基本事件有 个. 二、典型题归纳(一)概率与频率根据概率的定义,我们可以由频率来估计概率,因此应理清频率与概率的关系,频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化,而概率是多次重复试验中频率的稳定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.【例 1】 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答以下问题.每批粒数 2 5 10 70 130 300 1 500 2 000 3 0
4、00发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1 347 1 794 2 688发芽的频率(1)完成上面表格;(2)估计该油菜子发芽的概率约是多少?(二)古典概型古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应用公式 P(A)= 时,关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系,求出 nA,n.【例 2】 某人一次同时抛出两枚均匀骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6).(1)求两枚骰子点数相同的概率;(2)求两枚骰子点数之和为 5 的倍数的概率.【例 3】 有编
5、号为 A1,A2,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品.(1)从上述 10 个零件中,随机抽取 1 个,求这个零件为一等品的概率 .(2)从一等品零件中,随机抽取 2 个:用零件的编号列出所有可能的抽取结果;求这 2 个零件直径相等的概率.(三)概率的加法公式互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式,它能把复杂事件的概率问题转化成较简单的基本事
6、件的概率问题或转化成求对立事件的概率问题.应用公式时一定要注意,首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率.【例 4】 现有 8 名亚运会志愿者 ,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B 1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语 ,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组.(1)求 A1 被选中的概率;(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.(四)几何概型几何概型同古典概型一样,是概率中最具有代表性的试验概型之一,在高考命题中占有非常重要的位置.我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征,即:每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性,
7、并能求简单的几何概型试验的概率.【例 5】 在以 为半径的圆内任取一点 P 为中点作圆的弦,求弦长超过圆内接等边三3角形边长的概率.(五)数形结合思想数形结合思想在本章的应用很广泛,如用集合的关系与运算表示事件的关系与运算,用图表的形式表示一次试验的基本事件以及几何概型中画图表示问题中涉及的量,从而求出事件的概率.【例 6】 设 M=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,任取 x,yM ,xy.求 x+y 是 3 的倍数的概率.三、总结提升1.求某事件的概率可用间接法:求它的 事件的概率. 2.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.3.在古典概型中,求某
8、个随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数的常用方法是 (画树状图和列表 ),应做到 . 4.在几何概型问题的分析中,会利用 法确定试验构成的区域. 四、章末巩固(一)选择题1.给出下列四个命题:“三个球全部放入两个盒子中,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件“当 x 为某一实数时可使 x20”是不可能事件“明天广州要下雨” 是必然事件“从 100 个灯泡中取出 5 个,5 个都是次品”是随机事件其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.32.某人在比赛(没有“ 和”局)中赢的概率为 0.6,那么他输的概率是( )A.0.4 B.0.6 C.0.36 D.0.
9、163.下列说法正确的是( )A.一名篮球运动员,号称“ 百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况B.一枚硬币掷一次得到正面的概率是 ,那么掷两次一定会出现一次正面的情况12C.如买彩票中奖的概率是万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关4.某个班级内有 40 名学生,抽 10 名学生去参加某项活动,每个学生被抽到的概率是 ,其14中解释正确的是( )A.4 个人中必有一个被抽到B.每个人被抽到的可能性是14C.由于被抽到与不被抽到有两种情况,不被抽到的概率为14D.以上说法都不正确5.投掷两粒均匀的骰子,出现两个 5 点的概率为( )A. B. C
10、. D.136 118 16 5126.从a,b,c,d,e的所有子集中任取一个,这个集合恰是集合a,b,c的子集的概率是( )A. B. C. D.35 25 14 187.若 A 与 B 是互斥事件,其发生的概率分别为 p1,p2,则 A,B 同时发生的概率为( )A.p1+p2 B.p1p2 C.1-p1p2 D.0(二)填空题8.同时抛掷 3 枚硬币,恰好有 2 枚正面朝上的概率为 . 9.10 件产品中有 2 件次品,从中任取 2 件检验,则至少有 1 件次品的概率为 . 10.已知集合 A=(x,y)|x2+y2=1,集合 B=(x,y)|x+y+a=0,若 AB的概率为 1,则
11、a 的取值范围是 . (三)解答题11.由 1,2,3 组成可重复数字的三位数,试求三位数中至少出现两个不同数字的概率.12.从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件 A=“抽到的是一等品”,事件 B=“抽到的是二等品”,事件 C=“抽到的是三等品”,且已知 P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,求下列事件的概率:(1)事件 D=“抽到的是一等品或二等品”;(2)事件 E=“抽到的是二等品或三等品”.13.从含有两件正品 a,b 和一件次品 c 的三件产品中每次任取一件,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.(1)每次取出不放回;(2)每次取出后放回.14.在某次
12、数学考试中,甲、乙、丙三人及格(互不影响) 的概率分别为 0.4,0.2,0.5,考试结束后,最容易出现几个人及格?15.设甲袋装有 m 个白球,n 个黑球 ,乙袋装有 m 个黑球,n 个白球 ,从甲、乙袋中各摸 1 个球,设事件 A:“两球同色 ”,事件 B:“两球异色”,试比较 P(A)与 P(B)的大小.参考答案一、知识分析(二)要点概述1.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率 .2.(2)P(AB )=P(A)+P(B) (3)P( A)+P(B) 1-P(B)3.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个相等(2)包含的基本事件个数 基本事件的 总 数
13、4.(1)几何概率(2)构成事件 的区域 长 度 (面 积 或体 积 )试验 的全部 结 果所构成的区域 长 度 (面 积 或体 积 )(3)无限多相等5.等可能有限 无限多二、典型题归纳【例 1】 解:(1)由发芽的频率 fn(A)= 得各批种子发芽的频率:=1; =0.8; =0.9; =0.857;22 45 910 6070=0.892; =0.897; =0.898;116130 269300 1 3471 500=0.897; =0.896.1 7942 000 2 6883 000所以从左到右依次填入:1,0.8,0 .9,0.857,0.892,0.897,0.898,0.89
14、7,0.896.(2)由于每批种子的发芽的频率稳定在 0.897 附近,所以估计该油菜子发芽的概率约为0.897.【例 2】 解:用 (x,y)表示同时抛出的两枚均匀骰子中一枚骰子向上的点数是 x,另一枚骰子向上的点数是 y,则全部结果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
15、(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).即同时抛出两枚均匀骰子共有 36 种结果.则同时抛出两枚均匀骰子的结果是有限个,属于古典概型.(1)设“两枚骰子的点数相同”为事件 A,事件 A 有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共 6 种,则 P(A)= .636=16即两枚骰子点数相同的概率是 .16(2)设“两枚骰子点数之和为 5 的倍数” 为事件 B,事件 B 有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 7 种,则 P(B)= .736即两枚骰子点数之和为 5 的倍数的概率是 .
16、736【例 3】 解:(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取 1 个为一等品”为事件 A,则P(A)= .610=35(2)一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:A 1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共 15 种.“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”( 记为事件 B)的所有可能结果有:A1,A4,A1,A6,A4,A6,A
17、2,A3,A2,A5,A3,A5,共 6 种,所以 P(B)= .615=25【例 4】 解:(1)从 8 人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件空间 =(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2),即由 18
18、 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用 M 表示“A 1 被选中”这一事件,则 M=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),即事件 M 由 6 个基本事件组成.故 P(M)= .618=13(2)用 N 表示“B 1 和 C1 不全被选中”这一事件,则 N=(A1,B1,C2),(A2,B1,C2),(A3,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B2,C1),(A3,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B3,C1),(A3,B3,C1),
19、即事件 N 由 9 个基本事件组成,故P(N)= .918=12【例 5】解:设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A.在半径为 的圆内任取一点 P 的结果有无限个,属于几何概型 .3如图所示,BCD 是圆内接等边三角形 ,再作 BCD 的内切圆 .则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点 P 在等边三角形BCD 的内切圆内.可以计算得:等边三角形BCD 的边长为 3,等边三角形BCD 的内切圆的半径为 ,32所以事件 A 构成的区域面积是等边三角形 BCD 的内切圆的面积 ,(32)2=34全部结果构成的区域面积是 ( )2=3,3所以 P(A)= ,343=14即弦长超过圆内接等边
20、三角形的边长的概率是 .14【例 6】 解:利用平面直角坐标系列举 ,如图所示.由此可知,基本事件总数 n=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.而 x+y 是 3 的倍数的情况,有m=15(种), 故所求事件的概率 .=13三、总结提升1.对立3.列举法 不重不漏4.数形结合四、章末巩固1.D 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D8. 9. 10.a- 38 1745 2, 211.解:“三位数中至少出现两个不同数字”事件包含“三位数中恰好出现两个不同的数字”与“三个数全不相同” 两个互斥事件,故所求概率为 .23327+327=7912.解:由题知 A,B,C 彼此互斥,且
21、D=A+B,E=B+C.(1)P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7+0.1=0.8.(2)P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.13.解:(1)每次取出不放回的所有结果有(a,b),(a,c),(b,a),( b,c),(c,a),(c,b),其中左边的字母表示第一次取出的产品,右边的字母表示第二次取出的产品,共有 6 个基本事件,其中恰有一件是次品的事件有 4 个,所以每次取出不放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 .46=23(2)每次取出后放回的所有结果:(a,a),(a,b),( a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c
22、,a),(c,b),(c,c),共有 9 个基本事件,其中恰有一件是次品的事件有 4 个,所以每次取出后放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 .4914.解:按以下四种情况计算概率 :(1)三人都及格的概率 P1=0.40.20.5=0.04.(2)三个人都不及格的概率 P2=0.60.80.5=0.24.(3)恰有两人及格的概率 P3=0.40.20.5+0.40.80.5+0.60.20.5=0.26.(4)恰有一人及格的概率 P4=1-0.04-0.24-0.26=0.46.由此可知,最容易出现的是恰有一人及格的情况.15.解:基本事件总数为(m+n) 2,“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”,则 P(A)=,“两球异色”可分为“一白一黑” 或“一黑一白”,则 P(B)=(+)2+ (+)2=2(+)2,2(+)2+ 2(+)2=2+2(+)2显然 P(A)P(B), 当且仅当 m=n 时不等式取等号.