1、第二章 统计2.2 用样本估计总体2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(第 1 课时)学习目标1.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数;能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法;初步体会、领悟 “用数据说话”的统计思想方法 ;通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断,培养“ 实事求是”的科学态度和严谨的学习态度.2.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法;会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辩
2、证地理解数学知识与现实世界的联系.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定吗?问题 2:在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,关心的则是总体的某一数字特征,例如:买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢?二、信息交流,揭示规律问题 3:(1)什么是众数、中位数、平均数?(2)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数?请大家翻回到课本看看
3、原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢?根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢? 为什么?(请大家思考作答)提问:那么,如何从频率分布直方图中估计中位数呢 ?怎样利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数?三、运用规律,解决问题【例 1】 (1)若 M 个数的平均数是 X,N 个数的平均数是 Y,则这 M+N 个数的平均数是 ; (2)如果两组数 x1,x2,xn 和 y1,y2,yn 的平均数分别是 x 和 y,那么数组x1+y1,x2+y2,xn+yn 的平均数是 . 活动:学生思考或交流,教师提示 ,根据平均数的定义得到结论.【例 2】 某校高一年级的甲、乙两个班级( 均为 50
4、人)的语文测试成绩如下(总分:150分), 试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些 .甲班:112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 94 94 100 90 84 114乙班:116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 10
5、0 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110四、变式训练,深化提高下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位:h),试估计该校学生的日平均睡眠时间.睡眠时间 人数 频率6,6.5) 5 0.056.5,7) 17 0.177,7.5) 33 0.337.5,8) 37 0.378,8.5) 6 0.068.5,9 2 0.02合计 100 1.00五、反思小结,观点提炼学生自己总结,并且相互交流心得.布置作业课本 P82 习题
6、 2.2 A 组第 5 题.课后巩固:1.某单位年收入在 10 000 到 15 000、15 000 到 20 000、20 000 到 25 000、25 000 到 30 000、30 000 到 35 000、35 000 到 40 000 及 40 000 到 500 00 元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和 5%,试估计该单位职工的平均年收入.2.从甲、乙两个公司各随机抽取 50 名员工的月工资数据:甲公司:800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1
7、 000 1 000 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司:700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 00
8、0 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司 50 名员工月工资的平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工的平均工资.参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:略问题 2:通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体 ,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数
9、字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.二、信息交流,揭示规律问题 3:(1)初中我们曾经学过众数(在一组数据中,出现次数最多的数称为众数 )、中位数(在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数或中间两个数的平均数称为中位数) 、平均数(一般是一组数据和的算术平均数) 等各种数字特征,应当说 ,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.(2)教材前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题中 ,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数的估计值是 2.25 t(最高的矩形的中点)(如图), 它告诉我们,该市月均用水量为 2.25 t 的居民数比月均用水量为其他值的
10、居民数多,但它并没有告诉我们多多少.分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而 2.25 是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.提问:分析:在样本中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计出中位数的值为 2.02.利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数:估计众数:频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.(最高矩形的中点)估计中位数:频率分布直方图中中位数左右两边小矩形面积的和相等.估计平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边
11、中点的横坐标之和.总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中很少一部分信息,不一定唯一;中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关;平均数受样本中每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大.三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.三、运用规律,解决问题【例 1】 解:(1) ;+(2)x+y.【例 2】 分析:我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此,分别求出甲、乙两个班的平均分即可.解:用计算器分别求出甲班的平均分为 101.1,乙班
12、的平均分为 105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班.四、变式训练,深化提高分析:要确定这 100 名学生的日平均睡眠时间 ,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示各组学生的睡眠时间.解:方法一:总睡眠时间约为6.255+6.7517+7.2533+7.7537+8.256+8.752=739(h),这 100 名学生的日平均睡眠时间约为 =7.39(h).739100答:估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7.39 h.方法二:求组中值与对应频率之积的和6.250.05+6.750.17+7.250.33+7.750.37+8.250.0
13、6+8.750.02=7.39(h).答:估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7.39 h.五、反思小结,观点提炼1.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(平均数),会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.2.平均数对数据有“取齐” 的作用,代表一组数据的平均水平.3.形成对数据处理过程进行初步评价的意识.课后巩固:1.解:估计该单位职工的平均年收入为12 50010%+17 50015%+22 50020%+27 50025%+32 50015%+37 50010%+45 0005%=26 125(元).答:估计该单位人均年收入约为 26 125 元.2.解:甲公司:员工月工资平均数 1 320,众数 1 200,中位数 1 200;乙公司:员工月工资平均数 1 330,众数 1 000,中位数 1 000.从总体上看乙公司员工月平均工资比甲公司多,原因是乙公司有几个收入较高的员工影响了工资平均数.