1、第四章 圆与方程章末小结学习目标1.掌握圆的标准方程、一般方程,会根据条件求出圆心和半径,进而求得圆的标准方程;根据方程求得圆心和半径;掌握二元二次方程表示圆的等价条件; 熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系,会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系;掌握圆与圆的位置关系,会判断圆与圆的位置关系;会简单求解曲线的方程.3.掌握空间直角坐标系的建立,能用(x,y,z) 表示点的坐标; 会根据点的坐标求空间两点的距离.教学重点难点重点:熟练掌握圆的方程的几种形式 ,能用圆的方程来解决有关问题.难点:运用圆的方程解决与之相关的问题 .教学过程一、再现型题组1.以两点 A(-3,-1)和 B(5,
2、5)为直径端点的圆的方程是 ( )A.(x-1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x+1)2+(y+2)2=252.直线 3x-4y-9=0 与圆 x2+y2=4 的位置关系是( )A.相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心3.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,2),半径为 2 的圆,则 a,b,c 的值依次为( )A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-44.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3) 2+y2=9 截得的弦长为( )A.2 B.4 C.
3、4 D.22 25.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为 . 6.过点 A(1,-1)、B(-1,1) 且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 . 7.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限 ,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切,则该圆的标准方程是 . 提高型题组【例 1】 求过两点 A(1,4),B(3,2)且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系.总结规律:(试总结如何判断“ 点与圆的位置关系”)说明:本题利用两种方法求解了圆的方程 ,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和
4、半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?【例 2】 求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“ 点与圆的位置关系”)【例 3】 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 ,求此7圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“ 点与圆的位置关系”)点评:在解决求圆的方程这类问题时 ,应当注意以下几点:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等 )建立方程求得 a,b,r 或 D,E,F;(3)待定系数
5、法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.【例 4】 求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“ 点与圆的位置关系”)【例 5】 设圆满足 :截 y 轴所得弦长为 2;被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 31,在满足条件的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为 的圆的方程.55总结规律:(试总结如何判断“ 点与圆的位置关系”)点评:解析几何中的最值问题一般有两类办法 ,一是利用图形的几何性质,即从几何证明中发现最值;二是用代数法,即用函数的方法进行解答 .【例 6】 有一种大型商品 A、B 两地都有出售,
6、且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10 km,居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动:学生先审题,然后思考或讨论 ,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距 A 地近,且费用低,列方程或不等式.点评:在学习中要注意联系实际 ,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决
7、有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.巩固型题组1.圆 x2+y2-2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为( )A. B.1 C. D.222 22.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( )A.a B.-2r,(2+1)2+42点 P 在圆外 .解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过 A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又因为 kAB=-1,故 l 的斜率为 1,又 AB 的中点为(2,3),故 AB 的垂直平分线 l 的方程为:y-3=x-2 即 x-4-2
8、1-3y+1=0.又知圆心在直线 y=0 上,故圆心坐标为 C(-1,0).半径 r=|AC|= .(1+1)2+42=20故所求圆的方程为(x+1) 2+y2=20.又点 P(2,4)到圆心 C(-1,0)的距离为d=|PC|= r,(2+1)2+42=25点 P 在圆外 .【例 2】 解法一:设圆心 P(x0,y0),则有 20-0-3=0,(0-5)2+(0-2)2=(0-3)2+(0-2)2,解得 x0=4,y0=5,半径 r= ,10所求圆的方程为(x-4) 2+(y-5)2=10.解法二:圆心在线段 AB 的垂直平分线和已知直线的交点处,以下同解法一.【例 3】 因圆与 y 轴相切
9、,且圆心在直线 x-3y=0 上,故设圆方程为(x-3b) 2+(y-b)2=9b2.又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 ,7则有( )2+( )2=9b2,|3-|2 7(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3) 2+(y+1)2=9.【例 4】 解:据题意,设所求圆的方程为圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2.圆 C 与直线 y=0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a,-4).又已知圆 x2+y2-4x-2y-4=0 的圆心 A 的坐标为(2,1),半径为 3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7 或|CA|=4-3=1.(1)当 C1(a,4)时,
10、(a-2) 2+(4-1)2=72,或(a-2) 2+(4-1)2=12(无解),故可得 a=22 .10所求圆方程为(x-2-2 )2+(y-4)2=42,或(x-2+2 )2+(y-4)2=42.10 10(2)当 C2(a,-4)时 ,(a-2)2+(-4-1)2=72,或(a-2) 2+(-4-1)2=12(无解),故 a=22 .6所求圆的方程为(x-2-2 )2+(y+4)2=42,或(x-2+2 )2+(y+4)2=42.6 6【例 5】 解:设圆 P 的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对
11、的圆心角为 90,知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 r.故 r2=2b22又圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 2,所以有 r2=a2+1.从而得 2b2-a2=1.又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为 ,所以,d=55 |-2|5=55即有 a-2b=1,由此有22-2=1,-2=1或 22-2=1,-2=-1,解方程组得于是 r2=2b2=2,=-1,=-1或 =1,=1,所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1) 2+(y-1)2=2.【例 6】 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(-5,0),B(5,0).设某地
12、 P 的坐标为(x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费为 3a 元/km,则 B 地运费为 a 元/ km.由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件:价格+A 地运费价格+B 地运费,即 3a a ,整理得(x+ )2+y2( )2.(+5)2+2 (-5)2+2254 154所以以点 C(- ,0)为圆心, 为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从 A 地254 154购货费用较低,圆外的居民从 B 地购货费用较低,圆上的居民从 A、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从 A,B 两地之一购货.巩固型题组1.C 2.B 3.A 4.D5.(3,-2)6.(x-3)2+(y+4)2=167.(x-4)2+(y+2)2=258.x2+y2+x-9y-12=09.(x-1)2+y2=13 或(x-5) 2+(y-4)2=3710.(x-1)2+(y-2)2=5