1、第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标1.理解直线与圆的位置关系.2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会判断直线与圆的位置关系.学习过程一、设计问题,创设情境一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为 30 km 的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西 70 km 处,港口位于小岛中心正北 40 km 处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?问题 1:初中学过的平面几何中 ,直线与圆的位置关系有几类?问题 2:在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系 ?二、学生探索,尝试解决如何通过代数的方法来研究直线与圆的这三种
2、位置关系.1.从方程的角度来看:直线与圆相交,有两个公共点,组成的方程组 应该有 个解.+=0(-)2+(-)2=2直线与圆相切,有一个公共点,组成的方程组 应该有 个解.+=0(-)2+(-)2=2直线与圆相离,没有一个公共点,组成的方程组 应该 解. +=0(-)2+(-)2=2从初中直线与圆相切,常用到的作辅助线的方法来讲,连接切点和圆心得到半径,即圆心到直线的距离等于半径.2.一般地,已知直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零), 和圆(x-a) 2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为 d= ,则 d 与半径 r 有下面三种关系:dr. 三、信息交流,揭示规律3
3、.直线与圆相交、相切、相离的定义:(1)直线和圆有两个公共点,直线与圆 ; (2)直线和圆有唯一公共点,直线与圆 ; (3)直线和圆没有公共点,直线与圆 . 4.直线与圆相交、相切、相离的判定:代数法:直线与圆相交 有 解; +=0,(-)2+(-)2=2直线与圆相切 有 解; +=0,(-)2+(-)2=2直线与圆相离 解. +=0,(-)2+(-)2=2几何法:设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d.(1)当 时,直线与圆相交;(2)当 时,直线与圆相切;(3)当 时,直线与圆相离.位置 相离 相切 相交d 与 r dr d=r d0,则相交;若有两组相同的实数解,即 =0,则相切;若无
4、实数解,即 r 时,直线与圆相离 .布置作业:课本 P132 习题 4.2 A 组第 1,2,3,4 题;B 组第 7 题.参考答案1.两 一 没有实数2.|+|2+23.相交 相切 相离4.代数法:2 个 1 个 没有几何法:(1)dr.表格(略)5.解法一:由直线 l 与圆的方程,得 3+-6=02+2-2-4=0消去 y,得 x2-3x+2=0,因为 =(-3)2-4120 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点 .解法二:圆 x2+y2-2y-4=0 可化为 x2+(y-1)2=5,其圆心 C 的坐标为(0,1),半径长为 ,5点 C(0,1)到直线 l 的距离 d= .|30+1-6
5、|32+12=5105所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点 .由 x2-3x+2=0,解得 x1=2,x2=1.把 x1=2 代入方程,得 y1=0;把 x2=1 代入方程,得 y2=3;所以,直线 l 与圆有两个交点, 它们的坐标分别是 A(2,0),B(1,3).6.解:将圆的方程写成标准形式 ,得 x2+(y+2)2=25,所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长 r=5.因为直线 l 被圆截得弦长为 4 ,所以弦心距为 ,5 52-(452)2=5即圆心到所求直线 l 的距离为 .5因为直线 l 过点 M(-3,-3),所以可设所求直线 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的距离 d= .|2+3-3|2+1因此, ,即|3k-1|= ,|2+3-3|2+1=5 5+52两边平方,并整理得到 2k2-3k-2=0,解得 k=- 或 k=2.12所以,所求直线 l 有两条,它们的方程分别为y+3=- (x+3),或 y+3=2(x+3).12即 x+2y+9=0,或 2x-y+3=0.7.解:圆心到直线的距离为 r= =2|31-43-1|32+(-4)2所以所求圆的方程为(x-1) 2+(y-3)2=4