1、第四章 圆与方程4.3 空间直角坐标系学习目标1.掌握空间直角坐标系的有关概念;会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.2.掌握空间中两点的距离公式.学习过程一、设计问题,创设情境在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在学生思考讨论的基础上,教师明确: 确定点在直线上,通过数轴需要一个数 ;确定点在平面内 ,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢?二、学生探索,尝试解决图 1借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何
2、表示呢?1.在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?2.在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些? 平面直角坐标系上的点怎样表示?3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢?4.观察图 1,体会空间直角坐标系该如何建立.5.观察图 2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 如何用坐标表示呢?三、信息交流,揭示规律1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根 ,就成了空间直角坐标系. 2.如无特别说明,本书建立的坐标系都是 直角坐标系. 3.空间直角坐标系
3、像平面直角坐标系一样,有“三要素”: . 图 24.在平面上画空间直角坐标系 O xyz 时,一般使xOy=xOz=135,yOz=90,且使 y 轴和z 轴的单位长度相同,x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画.已知 M 为空间一点,过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴,它们与 x 轴、y轴和 z 轴的交点分别为 P,Q,R,这三点在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标分别为 x,y,z.于是空间的一点 M 就 确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y,z为点 M 的 .坐标为 x,y,z
4、 的点 M 通常记为 M(x,y,z). 5.反过来,一个有序数组 x,y,z,我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P,在 y 轴上取坐标为 y 的点Q,在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P,Q 与 R 分别作 的垂直平面.这三个垂直平面的交点 M 即为以有序数组 x,y,z 为坐标的点.数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y 和z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图 2 所示) 坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的 关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的
5、点 ,其坐标各有一定的特征.6.如果点 M 在 yOz 平面上,则 ;同样,zOx 面上的点 ; 面上的点,z=0;如果点 M 在 x 轴上,则 ; 如果点 M 在 y 轴上,则 ;如果点 M 在 轴上,则 x=y=0;如果 M 是原点 ,则 x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”. 事实上 ,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量 t.即(x,y,z,t),它表示在时刻 t 所处的空间位置是(x,y,z).7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导,猜想空间两点 P1(x1
6、,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式 . 四、运用规律,解决问题8.如图,长方体 OABCDABC中,|OA|=3,|OC|=4,|OD|=2, 写出 D,C,A,B四点的坐标.总结规律:(试总结如何根据题设条件写出点的坐标?)9.在 z 轴上求一点 M,使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.总结规律:(试总结坐标轴上点的特征及空间中两点间的距离公式是什么?)10.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1 和 D1B1 的中点,棱长为 1,求 E,F点的坐标.总结规律:(试总结空间直角坐标系中中点坐标公式?)五、变练演编
7、,深化提高11.在上题中求 B1(1,1,1)点关于平面 xOy 对称的点的坐标 .12.在上题中求 B1(1,1,1)点关于 z 轴对称的点的坐标.13.在上题中求 B1(1,1,1)点关于原点 D 对称的点的坐标.六、信息交流,教学相长类比平面直角坐标系,你能很好地掌握空间直角坐标系中中点的坐标吗?七、反思小结,观点提炼空间直角坐标系中的坐标对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、Oy轴、Oz 轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数对(x,y,z)叫做M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y
8、叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标.(设计意图:通过反思小结掌握本节课所学的主要内容和思想方法,掌握空间直角坐标系中点的坐标的特征和空间两点间的距离.)布置作业课本 P138 习题 4.3 A 组第 1,2,3 题,B 组第 1,2 题.参考答案三、1.竖轴2.右手3.原点、坐标轴方向、单位长度4.唯一,横坐标、纵坐标和竖坐标5.x 轴、y 轴和 z 轴,一一对应6.x=0,y=0,xOy,y=z=0,x=z=0,z7.|P1P2|= (1-2)2+(1-2)2+(1-2)2四、8.D在 z 轴上 ,而|OD|=2,因此它的竖坐标为 2,横纵坐标都为 0,因此 D的坐标是(0,0,
9、2).同理 C 的坐标为(0,4,0).A在 xOz 平面上,纵坐标为 0,A的横坐标就是|OA|=3,A的竖坐标就是|OD|=2,所以 A的坐标就是 (3,0,2).点 B在 xOy 平面上的射影是点 B,因此它的横坐标x 与纵坐标 y 同点 B 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同,在 xOy 平面上,点 B 的横坐标 x=3,纵坐标y=4;点 B在 z 轴上的射影是点 D,它的竖坐标与 D的竖坐标相同,点 D的竖坐标 z=2,所以点B的坐标是(3,4,2).9.设 M(0,0,z),由题意 ,(1-0)2+(0-0)2+(2-)2=(1-0)2+(-3-0)2+(1-)2解得 z=-3,所以
10、 M(0,0,-3)10.解:方法一:从图中可以看出 E 点在 xOy 平面上的射影为 B,而 B 点的坐标为(1,1,0),E点的竖坐标为 ,所以 E 点的坐标为 (1,1, );F 点在 xOy 平面上的射影为 G,而 G 点的坐标为12 12( ,0),F 点的竖坐标为 1,所以 F 点的坐标为( ,1).12,12 12,12方法二:从图中条件可以得到 B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E 为 BB1 的中点,F 为 D1B1 的中点,由中点坐标公式得 E 点的坐标为( )=(1,1, ),F 点的坐标为( )=( ,1).1+12,1+12,1+02 12 1
11、+02,1+02,1+12 12,1211.解:设所求的点为 B0(x0,y0,z0),由于 B 为 B0B1 的中点,所以 解之,得 .1=1+02,1=1+02,0=1+02, 0=1,0=1,0=-1所以 B0(1,1,-1).12.解:设所求的点为 P(x0,y0,z0),由于 D1 为 PB1 的中点,因为 D1(0,0,1),所以 解之,得0=1+02,0=1+02,1=1+02.所以 P(-1,-1,1).0=-1,0=-1,0=1. 13.解:设所求的点为 M(x0,y0,z0),由于 D 为 MB1 的中点,因为 D(0,0,0),所以 解之,得0=1+02,0=1+02,0=1+02.所以 M(-1,-1,-10=-1,0=-1,0=-1.