1、第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.会推导圆的标准方程.2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径.3.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程.4.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境前面我们已经学习过直线方程,初中也学习过圆的一些知识,请同学们思考:问题 1:在平面直角坐标系中, 两点能确定一条直线,一点和直线的倾斜角也能确定一条直线.那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢?问题 2:根据前面我们所学的直线方程的
2、知识 ,应该怎样确立圆的方程呢?二、学生探索,尝试解决若设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r(其中 a,b,r 都是常数,r0),试求圆的方程.三、信息交流,揭示规律1.在直角坐标系中,当 与 确定后,圆就唯一确定了,因此,确定圆的基本要素是 . 2.在平面直角坐标系中,若一个圆的圆心 A(a,b),半径长为 r,则圆的标准方程为 .推导的步骤是 .若点 M(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2 上,则点 M 的坐标就适合方程,即 ; 反之,若点 M 的坐标适合方程,这就说明 与 的距离为 r,即点 M 在圆心为 A 的圆上. 3.圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程为
3、. 4.若点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 内,则满足条件 ; 若点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,则满足条件 ;同理,若点 P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2 内,则满足条件 ;若点 P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2 外,则满足条件 . 5.ABC 外接圆的圆心即为外心,即 的交点. 四、运用规律,解决问题6.写出下列各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径为 3.(2)圆心为(2,3),半径为 .5(3)经过点(5,1),圆心在(8,-3).7.根据圆的方程写出圆心和半径:(1)(x-2)2+(y-3)2=5;(2)(x+2)
4、2+y2=(-2)2.8.写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这5个圆上.总结规律:(试总结如何判断“ 点与圆的位置关系”)9.ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)10.已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0 上,求圆心为C 的圆的标准方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)五、变练演编,深化提高同学们
5、仿照上述例题,自己试着编几道写、求圆的标准方程,或判断点与圆的位置关系的题目.六、信息交流,教学相长(请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面)七、反思小结,观点提炼1.圆的标准方程:(x-a) 2+(y-b)2=r22.求圆的标准方程的方法:待定系数法 .3.要求一个圆的标准方程,需要三个条件:圆心的横坐标、纵坐标和半径.4.点与圆的位置关系:点在圆上 ,点在圆外,点在圆内.参考答案三、1.圆心 半径 圆心和半径2.(x-a)2+(y-b)2=r2 建系、设点、列式、化简 (x 0-a)2+(y0-b)2=r2 点 M 圆心3.x2+y2=r24. r2 (x 0-a)2+(y0-b)
6、2r202+02 02+025.ABC 三边垂直平分线四、6.(1)x 2+y2=9(2)(x-2)2+(y-3)2=5(3)(x-8)2+(y+3)2=257.(1)圆心(2,3),半径 5(2)圆心(-2,0),半径 28.圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=25把点 M1(5,-7)坐标代入圆的方程:(5-2) 2+(-7+3)2=9+16=25 所以点 M1(5,-7)在圆上.把点 M2(- ,-1)坐标代入圆的方程:(- -2)2+(-1+3)2=13+4 25,所以点 M2(- ,-1)不在5 5 5 5圆上.9.设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2(r0),则:
7、解得(5-)2+(1-)2=2,(7-)2+(-3-)2=2,(2-)2+(-8-)2=2, =2,=-3,2=25.所求圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=25.10.(1)利用圆的标准方程(x-a) 2+(y-b)2=r2,只要能构造三个方程求出 a,b,r 便可.(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C在线段 AB 的垂直平分线 m 上 ,又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于|CA|或|CB|.解法一:设所求的圆的标准方程为
8、 (x-a)2+(y-b)2=r2,将点 A(1,1)和 B(2,-2)代入得(1-)2+(1-)2=2,(2-)2+(-2-)2=2.又圆心在 l:x-y+1=0 上,所以 a-b+1=0.联立方程组(1-)2+(1-)2=2,(2-)2+(-2-)2=2,-+1=0, 解得 a=-3,b=-2,r=5.所以所求的圆的标准方程为(x+3) 2+(y+2)2=25.解法二:因为 A(1,1)和 B(2,-2),所以线段 AB 的中点坐标为 ( ,- ),直线 AB 的斜率为 kAB=3212=-3,故线段 AB 的垂直平分线方程为 y+ (x- ),即 x-3y-3=0.由 解得-2-12-1 12=13 32 -3-3=0,-+1=0,=-3,=-2.因此圆心 C 的坐标为(-3,-2),半径 r=|AC|= =5,所以所求的圆的方程为(1+3)2+(1+2)2(x+3)2+(y+2)2=25.点评:比较解法一与解法二,不难看出解法二直接明了 ,思路明确,易于理解,而解法一则笼统,较繁.圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷,这也是解析几何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应用.