1、第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式,提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的能力.学习过程一、课题导入,问题探究问题 1:我们已经学过正方体和长方体的表面积 ,以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?问题 2:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,如何计算它们的表面积?问题 3:类比棱柱和棱锥,如何根据圆柱、圆锥的几何结构特
2、征,求它们的表面积?问题 4:联系圆柱、圆锥的侧面展开图 ,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是 r,r,母线长为 l,你能计算出它的表面积吗 ?二、类比思考,引起联想问题 5:请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征 ,它们的表面积之间有什么关系?问题 6:回顾长方体、正方体和圆柱 ,你能将它们的体积公式统一成一种形式吗,并依次类比出柱体的体积公式.问题 7:怎么得到锥体和台体的体积公式呢 ?三、典型例题【例 1】若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )A.18 B.15 C.24+8 D.24+163 3 3 3【例 2】已知棱
3、长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积.【例 3】(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( )A.123 B.1719 C.345 D.1927(2)三棱锥 V-ABC 的中截面是 A1B1C1,则三棱锥 V-A1B1C1 与三棱锥 A-A1BC 的体积之比是( )A.12 B.14 C.16 D.18【例 4】 有一堆规格相同的铁制( 铁的密度是 7.8 g/cm3)六角螺帽,共重 5.8 kg,已知底面是正六边形,边长为 12 mm,内孔直径为 10 mm,高为 10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?( 取3.14)
4、四、作业精选,巩固提高1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( )A. B. C. D.33 233 3 32.向高为 H 的水瓶中匀速注水 ,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是( )3.一个圆台的上、下底面面积分别是 1 cm2 和 49 cm2,一个平行于底面的截面面积为 25 cm2,则这个截面与上、下底面的距离之比是( )A.21 B.31 C. 1 D. 12 34.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,则圆锥的底面面积是 . 5.已知某几何体的俯视图是如图所
5、示的矩形,正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.求(1)该几何体的体积 V;(2)该几何体的侧面积 S.布置作业课本 P28 习题 1.3A 组第 1,2,3 题.参考答案一、问题 1:正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的表面积就是各个面的面积的和.问题 2:棱柱的侧面展开图是平行四边形 ,其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.问题 3:由于它们的底面都是圆面
6、,其底面积直接应用圆的面积公式即可,其中圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积,表面积等于侧面积与底面积的和.如果圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,那么圆柱的底面面积为 r2,侧面面积为 2rl,因此,圆柱的表面积 S=2r2+2rl=2r(r+l).如果圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,那么它的表面积S=r2+rl=r(r+l).(设计意图:将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题常用的方法.)问题 4:圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积,即 S=(r2+r2+rl+rl).二、问题
7、5:圆柱和圆锥都可以看做是圆台变化而成的几何体,有如下的关系:S 圆柱表 =2r(r+l) S 圆台表 =(r1l+r2l+ ) S 圆锥表 =r(r+l).12+22问题 6:柱体的体积是 V 柱体 =Sh(S 为底面积,h 为柱体的高).问题 7:锥体的体积公式 V 锥体 = Sh(S 为底面积,h 为锥体的高) .13台体的体积公式 V= (S+ +S)h,13 其中 S,S 分别为上、下底面面积,h 为圆台(棱台) 高.三、 【例 1】解析:该正三棱柱的直观图如图所示 ,且底面等边三角形的高为 2 ,正三棱3柱的高为 2,则底面等边三角形的边长为 4,所以该正三棱柱的表面积为342+2
8、 42 =24+8 .12 3 3答案:C【例 2】解:先求SBC 的面积,过点 S 作 SDBC,交 BC 于点 D.因为 BC=a,SD= a,2-2=2-(2)2=32所以 SSBC= BCSD= a a= a2.12 12 32 34因此,四面体 S-ABC 的表面积 S=4 a2= a2.34 3【例 3】 (1)解析 :因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为 123,于是自上而下三个圆锥的体积之比为 ( r2h) (2r)22h (3r)23h3 3 3=1827,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为 1(8-1)(27-8)=1719.答案:B(2
9、)解析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为 14,将三棱锥 A-A1BC 转化为三棱锥 A1-ABC,这样三棱锥 V-A1B1C1 与三棱锥 A1-ABC 的高相等,底面积之比为 14,于是其体积之比为 14.答案:B【例 4】解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即 V= 122610-3.14( )34 1022102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为 5.81 000(7.82.956)252(个).答:这堆螺帽大约有 252 个.四、答案:1.A 2.A 3.A 4.25.解:由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为 6,8 的矩形,高为 4 的四棱锥,设底面矩形为 ABCD,如图所示,AB= 8,BC=6,高 VO=4.(1)V= (86)4=64.13(2)已知四棱锥侧面 VAD,VBC 是全等的等腰三角形,侧面 VAB,VCD 也是全等的等腰三角形,在VBC 中,BC 边上的高为 h1= =4 ,2+(2)2=42+(82)2 2在VAB 中,AB 边上的高为 h2= =5.2+(2)2=42+(62)2所以此几何体的侧面积 S=2( 64 85)=40+24 .12 2+12 2