1、第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标学习目标1.理解两直线的交点坐标与两直线方程的关系,两直线的交点个数与两直线方程中系数的关系.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.知道交点系直线方程,并会简单应用.合作学习一、设计问题、创设情境问题 1:已知点 A(2,-1),直线 l:3x+4y-2=0.点 A 与直线 l 的位置关系是怎样的?若点 B(a,2)在直线 l 上,求实数 a 的值.你解答上面问题的依据是什么 ? 问题 2:已知直线 l1:x-y-1=0,l2:x+y-1=0,试判断直线 l1,l2是否相交?若相交,请你求出交点坐标,并说明
2、求解的依据;若不相交 ,请说明理由.二、学生探索,尝试解决问题 3:这种依据可以推广到一般情形吗 ?已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 相交,请同学们看下表,并填空:几何元素及关系 代数表示点 A A(a,b)直线 l l:Ax+By+C=0点 A 在直线 l 上直线 l1与直线 l2的交点是 A三、信息交流,揭示规律问题 4:请你说出用代数法求两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 的过程,以及可能出现的结果.四、运用规律,解决问题【例 1】 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:x-y=0
3、,l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-4y+4=0,l2:6x-8y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.问题 5:由本例中的(2)你能得到,当两直线方程满足什么特征时,两直线平行吗?直线的方程由直线方程中的系数 A,B,C 决定,当系数具备什么特征时,两直线平行、重合、相交呢?问题 6:由例 1 中的(3)思考,当 0 时,方程 (3x+3y-10)=0 表示的直线与方程 3x+3y-10=0 表示的直线是否是同一条直线 ?那么当 变化时, 方程( x-y)+(3x+3y-10)=0 表示什么图形?该图形有何特点? 该图形与直线 l1:x-y=0,l
4、2:3x+3y-10=0 有没有联系呢?请大家探究.五、变式演练、深化提高【例 2】 已知 a 为实数,两直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0 相交于一点,求证:交点不可能在第一象限及 x 轴上 .【例 3】 求经过两条直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线 l 的方程.六、信息交流、教学相长问题 7:直线是几何图形,而直线方程是代数式子 ,直线的有关问题可以完全由其代数方程来研究吗?为什么 ?用方程来研究直线,即用坐标法研究直线,有什么好处呢?布置作业课本 P109习题 A 组第 1,2,3 题,选做第 4 题.参考答案一、问
5、题 1:点 A 在直线 l 上; a=-2;坐标满足直线方程的点在直线上;直线上任意一点的坐标都是直线方程的解.问题 2:联立两直线方程,得 -1=0,+-1=0,解得 因此,两直线的交点坐标为(1,0).=1,=0.求解的依据是:两直线的交点坐标是两直线方程的公共解 ,即两直线方程构成的方程组的解.二、问题 3: 几何元素及关系 代数表示点 A A(a,b)直线 l l:Ax+By+C=0点 A 在直线 l 上 Aa+Bb+C=0直线 l1与直线 l2的交点是 A点 A 的坐标是方程组的解A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0三、问题 4:一般地,将两条直线的方程联立 ,得方程组
6、1+1+1=0,2+2+2=0.若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数个解 ,此时两直线重合 .四、 【例 1】 (1)l1与 l2相交,交点 M( );(2)l1与 l2平行;(3)l 1与 l2重合.53,53问题 5:一般地,对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(其中系数满足 A2B2C20),可以得到方程组 (*)有下列结论:1+1+1=0,2+2+2=0.方程组(*) 解的情况 两直线的位置关系 系数的特征唯一解 相交A1A2B1B2无解 平行A1A2=B1B2C1C2无
7、数个解 重合A1A2=B1B2=C1C2问题 6:不难发现该方程是二元一次方程 ,因此它表示直线.当 变化时,可以根据 的不同的具体值,画出相应的直线,发现这些直线始终过直线 l1与 l2的交点 M( ).也可以思考直线方53,53程的特点反映了直线的特点,通过观察该方程恒有一个确定的解,即方程组的解.即直线( x-y)+(3x+3y-10)=0 表示过直线 l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0 的交-=0,3+3-10=0点除直线 l2外的所有直线.五、 【例 2】 解:考虑方程组 +1=0,+-=0,l1,l2有交点, a1.方程组的解为 =-+1-1,=2+1-1.当 a1 时,
8、x0;当 a0,y0.点 (- )不可能在第一象限,又y= 0+1-1,2+1-1 2+1-1点 (- )不在 x 轴上.+1-1,2+1-1【例 3】 解:解法一:由 解得2-3-3=0,+2=0, =-35,=-75.即交点坐标为(- ,- ).3575又因为 l 与直线 3x+y-1=0 平行,故直线 l 的斜率为-3,所以直线 l 的方程为 y+ =-3(x+ ),即 15x+5y+16=0.75 35解法二:设直线 l:2x-3y-3+(x+y+2)=0,变形为.(+2)x+(-3)y+2-3=0.因为 l 与直线 3x+y-1=0 平行,故直线 l 的斜率为-3,即- =-3,解得 = .+2-3 112所以直线 l 的方程为 15x+5y+16=0.六、问题 7:可以;因为直线是由点构成的,而直线上所有点的坐标都是方程的解 ,反之也成立.所以直线方程与相应直线是完全一样的,只是表现形式不同;可以讲几何图形的位置关系和度量关系,通过代数运算来完成.