1、第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.合作学习一、设计问题、创设情境问题 1:利用点斜式解答如下问题 :(1)已知直线 l 经过两点 P1 (1,2),P2 (3,5),求直线 l 的方程.(2)已知两点 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2)其中(x 1x2,y1y2). 求通过这两点的直线方程 .二、信息交流、揭示规律问题 2:同学们用的是什么方法求解的直线方程 ?体现了什么数学思想? 问题 3: 若点 P1 (x1,x2),P2 (x2,y2)中有 x1=x2,
2、或 y1=y2,此时这两点的直线方程是什么?问题 4:两点式适用于怎样的直线 ?课堂练习 1:课本 97 页,练习题第 1 题.三、运用规律、解决问题【例 1】 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B (0,b),其中 a0,b0.求直线 l 的方程.问题 5: 题目中所给的条件有什么特点?可以用哪些方法来求直线 l 的方程? 哪种方法更为简捷?问题 6:方程中的 a,b 分别有什么几何意义 ,它们可以为零吗?如果给这个方程起个名字,可以叫什么?课堂练习 2: 课本 97 页,练习题第 2 题.四、变式演练、深化提高【例 2】 已知三角形的三个顶点 A(-5,0
3、 ),B (3,-3),C (0,2),求 BC 边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.问题 7:确定一条直线需要几个条件 ?根据条件对直线 BC 的约束 ,可以用什么方法求其方程?那么直线 AM 呢? 点 M 的坐标确定吗 ?课堂练习 3:课本 97 页,练习题第 3 题.五、信息交流、教学相长问题 8:两点式方程是根据什么推导出来的 ?为什么不只用点斜式,而推导两点式呢?两点式方程的应用范围是直线的斜率存在,且不为零,你能将该方程的形式做适当改变后,使得其应用范围更广吗?问题 9:截距式方程是根据什么推导出来的 ?只要直线存在横纵截距,就能用截距式求其方程吗?3.反思小结、观点提
4、炼问题 10: (1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种? 它们之间有什么关系?(2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件?参考答案一、问题 1: 根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程:(1)y - 2 = (x-1);32(2)y - y1 = (x-x1).2-12-1二、问题 2:直线的点斜式方程 ;化归转化.问题 3:x1=x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x=x1;当 y1=y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程为:y=y 1.问题 4:斜率存在,且不为零.课堂练习 1:解:(1) 将两点的坐标代入两点式,得
5、,-1-3-1=-20-2即 2x-y-3=0.(2) 将两点的坐标代入两点式,得 ,-50-5=-05-0即 x+y-5=0.运用规律、解决问题三、问题 5:给出直线上两点的坐标 ;可以用点斜式或者两点式 ;两点式.【例 1】 解:将点 A(a,0),B(0,b)代入两点式,得 ,即 =1.-0-0=-0- +问题 6: a 是直线的横截距,b 是直线的纵截距 ;不可以为零, 因为它们都在分母上;截距式.课堂练习 2:(1)3x+2y-6=0;(2)6x-5y+30=0.四、【例 2】 解: 如图,过 B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为 .-2-3-2=-03-0整理得 5x + 3
6、y-6 = 0.这就是 BC 所在的直线方程.BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段,由中点坐标公式可得点 M 的坐标为( ),即( ,- ).3+02,-3+22 3212过 A(-5,0),M( ,- )的直线的方程为 ,3212 -0-12-0=+532+5整理得 x+ y+ =0,即 x+13y+5=0.12 132 52这就是 BC 边上中线所在直线的方程 .问题 7:两个;截距式;可以求出点 M 的坐标后,用两点式; 应该确定 ,因为 B,C 两点确定.课堂练习 3:(1)由题意,知该直线的纵截距为 5,因为两截距之和为 2,所以横截距为-3.所以直线方程为 =
7、1,即 5x-3y+15=0.-3+5(2)由题意,知该直线的横截距为 5,因为两截距之差为 2,所以纵截距为 3 或 7.所以直线方程为 =1 或 =1,即 3x+5y-15=0 或 7x+5y-35=0.5+3 5+7五、信息交流,教学相长问题 8:点斜式;相对于点斜式,两点式更对称、形式更美观、更整齐 ,便于记忆;去分母即可得到( y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),此方程适用于已知任意直线上两点的坐标,求直线方程.问题 9:两点式;不能,截距都为零,即过原点的直线就不存在截距式 .六、反思小结,观点提炼问题 10:(1)四种;斜截式是点斜式的特殊情形,两点式是由点斜式推导出来的,而截距式是两点式的特殊情形,所以点斜式方程是四种直线方程的核心.(2)必须知道两个条件.