1、第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积学习目标掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养转化与化归的数学思想方法.学习过程一、课题引入,问题探究问题 1:圆的大小与半径有关, 如何用半径来表示圆的面积?问题 2:若球的半径为 R,它的表面积和体积只与球的半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数,如果球的半径为 R,那么如何用半径 R 来表示球的表面积和体积?二、典型例题,加深理解【例 1】如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 ;23(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.【例 2】若
2、棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 【例 3】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 【例 4】已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO 底面 ABC,AC= r,则球的体积与三棱锥的体积之比是( )2A. B.2 C.3 D.4三、作业精选,巩固提高1.若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9,则球的表面积是 . 2.三个球的半径之比为 123,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1 倍 B.2 倍 C. 倍 D. 倍95
3、 743.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为 R 的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少?布置作业课本 P28练习第 1,2,3 题.参考答案一、问题 1:S=r2问题 2:S=4R2,V= R3.43二、 【例 1】证明:(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R.因为 V 球 = R3,V 圆柱 =R22R=2R3,所以,V 球 = V 圆柱 .43 23(2)因为 S 球 =4R2,S 圆柱侧 =2R2R=4R2,所以,S 球 =S 圆柱侧 .【例 2】解析:画出球的轴截面可
4、得 ,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径 R= ,332则该球的表面积为 S=4R2=27.答案:27【例 3】解析:长方体的对角线为 ,则球的半径为 ,则球的表面积12+22+32=14142为 4( )2=14.142答案:14【例 4】解析:由题意得 SO=r,为三棱锥的高, ABC 是等腰直角三角形,所以其面积是2rr=r2,所以三棱锥的体积是 r2r= ,又球的体积为 ,则球的体积与三棱锥的体积之12 13 33 433比是 4.答案:D三、答案:1.100 2.C3.解:作出圆锥和球的轴截面图如图所示 ,圆锥底面半径 r= R,30=3圆锥母线 l=2r=2 R,圆锥高为 h= r=3R,3 3V 水 = r2h- R3= 3R23R- R3= R3,3 43 3 43 53球取出后,水形成一个圆台,下底面半径 r= R,设上底面半径为 r,3则高 h=(r-r)tan60= R-r),3( 3 R3= h(r2+r2+rr),53 35R3= R-r)(r2+ Rr+3R2),5R3= (3 R3-r3),3( 3 3 3 3解得 r= R= R,343 6163h=(3- )R.312答:容器中水的高度为(3- )R.312