1、第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例学习目标了解函数拟合的基本思想,学会建立拟合函数模型解决实际问题;借助信息技术,利用数据画出函数图象,从拟合简单的一次函数模型入手,掌握多角度观察函数图象的技能,探究出各种合适的拟合函数模型.在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想;体验探究的乐趣,了解函数是描述变化规律的基本数学模型,培养学生分析、解决问题的能力.合作学习一、设计问题,创设情境大家已看到在课本第三章的章头图中,说的是有名的“澳大利亚的人兔大战”.859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量
2、不断增加,到 1890 年,新南威尔士州的兔子数量据估计就有 3600 万只.到 1926 年,全澳洲的兔子数量已经增长到了创纪录的 100 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,100 亿只兔子吃掉了相当于 10亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛、羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.与之相应,图中话道出了其中的意蕴:对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下,那么它将呈指数增长 ;但在有限制的环境中,种群数量一般符合对数增长模型.前面我们
3、学习过两种函数模型的应用,分别是利用给定函数模型解决实际问题、建立确定性的函数模型解决问题,那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下,又该如何解决实际问题呢?二、自主探索,尝试解决问题 1:一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图象 .再次探索:(1)将图中的阴影部分隐去,得到的图象有什么意义?(2)图中每一个矩形的面积的意义是什么?(3)汽车的行驶里程与
4、里程表读数之间有什么关系?它们关于时间的函数图象又有何关系?三、信息交流,揭示规律通过前面的分析例题,进行总结归纳.利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法:(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;(2)利用待定系数法,确定具体函数模型;(3)对所确定的函数模型进行适当的评价;(4)根据实际问题对模型进行适当的修正.四、运用规律,解决问题我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表:身高/cm 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172体重/kg 42.9 44.8 46.5 48.5 50.2 52.3 54.2
5、 56.6 59.1 61.4 63.8 66.2(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映我校学生体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系? 试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高的学生体重平均值的 1.2 倍为偏胖 ,低于 0.8 倍为偏瘦,下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常.请同学们归纳解决问题的基本过程:五、变式训练,深化提高一种放射性元素,最初的质量为 500g,按每年 10%衰减.(1)求 t 年后,这种放射性元素质量 的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期( 剩留量为原来的一半所需的时间叫做半
6、衰期).( 精确到 0.1.已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771)六、限时训练,巩固提高请同学们在 8 分钟之内完成以下 5 个小题,比一比谁做的最快最好.1.已知某产品的总成本 y(万元) 与产量 x(台)之间的函数关系是 y=0.1x2-11x+3000,每台产品的售价为 25 万元,则生产者为获得最大利润,产量 x 应定为( )A.55 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y=4,110,*,2+10,10100,*,1.5,100,*. 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数.若应聘的面试人数为
7、 60,则该公司拟录用人数为( )A.15 B.40 C.25 D.1303.某产品成本为 a 元,在今后 m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低 p%,则成本 y 与经过的年数 x 的函数关系式为( )A.y=a(1-p%)m(mN*)B.y=a(1-mp%)x(xN*且 xm)C.y=a(1-p%)x(xN*且 xm)D.y=a(1-p% ,(xN*,且 xm)4.把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,那么这两个正方形面积之和的最小值是 . 5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v= log3 ,单位是 m/s,其中
8、 O 表示鱼的耗氧量的单位数.12 100(1)当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.七、反思小结,观点提炼1.课堂作业课本 P104练习第 1,2 题;P 106练习第 1,2 题.2.以小组中 1 人总结,3 人倾听的方式,对本课内容进行自主小结.参考答案二、自主探索,尝试解决问题 1:(1)S=360,阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360km.(2)s= 函数图象如图50+2004,01,80(-1)+2054,12,90(-2)+2134,23,75(-3)+2224,34,65(-4)+2299,45.(2
9、)略四、运用规律,解决问题问题(1)的探究通过学生自主活动分析数据,发现本题只给出了通过测量得到的数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机,画出它们的散点图.教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近,从而选择这个函数模型.由图可发现指数型函数 y=abx 的图象可能与散点图的吻合较好,可选之.教师再问:如何确定拟合函数模型中 a,b 值.教师把学生每 4 人分成一小组合作探究,求出拟合函数模型中 a,b 的值,然后画出图形,得到的拟合函数效果如何?教师下去巡视后,请小组中的 1 名成员上台到实物投影处讲解.组 1:选取(168,61.4),
10、(172,66.2) 两组数据,用计算器算出 a=2.6,b=1.019.这样得到函数模型为 y=2.61.019x,画出这个函数的图象与散点图.我们发现,函数 y=2.61.019x 不能很好地反映我校学生身高与体重关系.组 2:选取(154,46.5),(168,61.4) 两组数据,用计算器算出 a=2.2,b=1.02.这样得出函数模型为 y=2.21.02x,画出这个函数的图象与散点图.我们发现,散点图上的点基本上或大多数接近函数 y=2.21.02x 的图象,所以函数y=2.21.02x 很好地刻画了我校学生身高与体重的关系.(2)如一男生身高 175cm,体重 80kg,他的计算
11、如下:将 x=175 代入 y=2.21.02x,得 y=2.21.0217570.4.由于 8070.41.1361.2.所以,该男生体重正常.五、变式训练,深化提高解:(1)最初的质量为 500g.经过 1 年后,=500(1- 10%)=5000.91;经过 2 年后,=5000.9(1-10%)=500 0.92;由此推知,t 年后,=5000.9 t.(2)解方程 5000.9t=250,则 0.9t=0.5,所以 t= 6.6(年),0.50.9=-223-1即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年.六、限时训练,巩固提高1.D 2.C 3.C4. cm2925.解:(1)由题意得 v= log3 (m/s).12 2700100=32(2)当一条鱼静止时,即 v=0(m/s),则 0= log3 ,12 100解得 O=100.所以当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时,它的游速是 m/s,当一条鱼静止时耗氧量的单32位数是 100.