1、第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大 (小)值 (第二课时)学习目标通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小) 值及其几何意义 ,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识 ;能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题, 使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感 ,激发学生学习的积极性 .合作学习一、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为 10 000 m2 的矩形新厂址, 新厂址的长为 x m,则宽为 m,所建围墙 y m,假如你是这个工厂的厂长 ,你会选择一个长和宽各为10000多少
2、米的矩形土地,使得新厂址的围墙 y 最短?二、自主探索,尝试解决问题 1:如图所示是函数 y=-x2-2x,y=-2x+1(x-1,+),y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.问题 2:你是怎样理解函数 y=f(x)的图象的?问题 3:你是怎样理解函数图象最高点的?问题 4:问题 1 中 ,在函数 y=f(x)的图象上任取一点 A(x,y),如图所示 ,设点 C 的坐标为( x0,y0),谁能用数学符号解释:函数 y=f(x)的图象有最高点 C?三、信息交流,揭示规律问题 5:在数学中,形如问题 1 中函数 y=f(x)的图象上最高点 C 的纵坐标就称为函数 y=f(x)的最大值. 谁
3、能给出函数最大值的定义?1.函数最大值的定义问题 6:函数最大值的定义中 f(x)M 即 f(x)f(x0),这个不等式反映了函数 y=f(x)的函数值具有什么特点? 其图象又具有什么特征?问题 7:函数最大值的几何意义是什么?问题 8:函数 y=-2x+1,x(-1,+)有最大值吗?为什么?问题 9:点(-1,3)是不是函数 y=-2x+1,x(-1,+)的最高点?问题 10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方 ?问题 11:类比函数的最大值,请你给出函数最小值的定义及其几何意义.2.函数最小值的定义问题 12:类比问题 10,你认为讨论函数最小值应注意什么?四、运用规律,解决问题【例 1
4、】求函数 y= 在区间 2,6上的最大值和最小值.21【例 2】画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,指出函数的单调区间和最大值 .【例 3】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一 .制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)?五、变式演练,深化提高1.已知函数 f(x)=x+ (x0).1(1)证明当 00,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函数 y= 在区间 2,6上是减函数.21所以,当 x
5、=2 时,函数 y= 在区间 2,6上取得最大值 f(2)=2;21当 x=6 时,函数 y= 在区间2 ,6上取得最小值 f(6)= .21 25【例 2】解:函数图象如图所示.由图象得,函数的图象在区间 (-,-1)和 0,1上是上升的,在-1 ,0)和( 1,+)上是下降的, 最高点是( -1,4)和 (1,4),故函数在(-,-1),0,1上是增函数;函数在-1, 0),(1,+)上是减函数,最大值是 4.点评:本题主要考查函数的单调性和最值 ,以及最值的求法 .求函数的最值时, 先画函数的图象, 确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.单调
6、法求函数最值:先判断函数的单调性 ,再利用其单调性求最值 ;常用到下面的结论:如果函数 y=f(x)在区间( a,b上单调递增, 在区间b,c )上单调递减 ,则函数 y=f(x)在a,c上,当 x=b 时取最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间( a,b上单调递减, 在区间b,c )上单调递增 ,则函数 y=f(x)在a,c上,当 x=b 时取最小值 f(b).【例 3】解:作出函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象,如图所示,显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 ,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 ,纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识,对于函数 h(
7、t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:当 t=- =1.5 时,函数有最大值14.72(4.9)h= 29.4(4.9)1814.724(4.9)即烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是 29 m.点评:本题主要考查二次函数的最值问题 ,以及应用二次函数解决实际问题的能力 .解应用题步骤是:审清题意读懂题; 将实际问题转化为数学问题来解决;归纳结论.注意:要坚持定义域优先的原则 ;求二次函数的最值要借助图象 ,即数形结合.五、变式演练,深化提高1.解 :(1)任取 x1,x2(0,+)且 x10.当 00.f(x1)f(x2),即当 00,f(x1)-f(x2
8、)0 取最小值.1又 f(1)=2,则函数 f(x)=x+ ,x0 取最小值 2.1方法二:借助于计算机软件画出函数 f(x)=x+ ,x0 的图象,如图所示,1由图象知,当 x=1 时,函数 f(x)=x+ ,x0 取最小值 f(1)=2.12.解 :可证明函数 y= (x0)是减函数,31+2函数 y= (x0)的最大值是 f(0)=3.31+23.解 :方法一:( 图象法)y=|x+1|+|x-1|= 其图象如图所示.2,1,2,11,2,1, 由图象得,函数的最小值是 2,无最大值.方法二:(数形结合)函数的解析式 y=|x+1|+|x-1|的几何意义是 :y 是数轴上任意一点 P 到1 的对应点 A,B 的距离的和, 即 y=|PA|+|PB|,如图所示,观察数轴,可得|PA|+|PB|AB|=2, 即函数有最小值 2,无最大值.4.解 :设商品售价定为 x 元时,利润为 y 元, 则y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10(x-12)2+160(10x16).当且仅当 x=12 时,y 有最大值 160 元,即售价定为 12 元时可获最大利润 160 元.