1、第一章 集合与函数概念本章复习学习目标通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题, 培养学生分析、探究和思考问题的能力, 激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想( 数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力 .合作学习一、提出问题第一节是集合,分为几部分?第二节是函数及其表示,分为几部分?第三节是函数的基本性质, 分为几部分?画出本章的知识结构图.二、应用示例【例 1】若 P=x|y=x2,Q=(x,y)|y=x2,xR,则必有( )A.PQ=B.PQC.P=QD.PQ【例 2】求函数 y=x2+1 的最小值.【例 3】求函数 y= 的最大值和最小值.32+
2、4【例 4】函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间( -,1)上有最小值, 则函数 g(x)= 在区间(1, +)上一()定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数三、变式训练1.设集合 M=x|x1,P=x|x2-6x+9=0,则下列关系中正确的是( )A.M=P B.PMC.MP D.MP=R2.定义集合 A 与 B 的运算 A*B=x|xA 或 xB,且 xAB,则(A*B)*A 等于( )A.AB B.ABC.A D.B3.求函数 f(x)= 的单调区间.21四、作业课本 P44 复习参考题第 5,7 题.参考答案一、提出问题分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集
3、合的基本运算三部分.分为:函数的概念(定义、定义域、值域 ),函数的表示( 列表法、图象法、解析法 )两部分;其中又把函数的概念拓展为映射 .分为:单调性、最值和奇偶性三部分.第一章的知识结构图如图所示,二、应用示例【例 1】解析:从选项来看,本题是判断集合 P,Q 的关系, 其关键是对集合 P,Q 的意义的理解. 集合 P 是函数 y=x2 的定义域,则集合 P 是数集; 集合 Q 是函数 y=x2 的图象上的点组成的集合, 则集合 Q 是点集.故 PQ=.答案:A点评:判断用描述法表示的集合间关系时 ,一定要搞清两集合的含义 ,明确集合中的元素.形如集合x|xP(x),xR是数集, 形如集
4、合( x,y)|x,yP(x,y),x,yR是点集,数集和点集的交集是空集.【例 2】解:方法一( 观察法)函数 y=x2+1 的定义域是 R,观察到 x20.x2+11.函数 y=x2+1 的最小值是 1.方法二:(公式法)函数 y=x2+1 是二次函数,其定义域是 xR,则函数 y=x2+1 的最小值是f(0)=1.点评:求函数最值的方法:观察法:当函数的解析式中仅含有 x2 或|x|或 时, 通常利用常见的结论x20,|x|0, 0 等,直接观察写出函数的最值;公式法:求基本初等函数(正、反比例函数, 一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值
5、.【例 3】解:(判别式法)由 y= 得 yx2-3x+4y=0,32+4xR,关于 x 的方程 yx2-3x+4y=0 必有实数根.当 y=0 时,则 x=0,故 y=0 是一个函数值;当 y0 时,则关于 x 的方程 yx2-3x+4y=0 是一元二次方程,则有 =(-3)2-44y20.010.又 aa.x1x2-a0.g(x1)-g(x2)1,3M.PM.答案:B2.解析 :设 A=1,2,3,4,B=1,2,5,6,7,则 A*B=3,4,5,6,7,于是(A*B)*A=1 ,2,5,6,7=B.答案:D点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质, 本题 A*B 的本质
6、就是集合 A 与 B 的并集中除去由它们公共元素组成的集合.3.解 :函数的定义域是 (-,-11,+).设 y= ,u=x2-1,当 x0 时,u=x 2-1 是增函数,y= 是增函数,函数 f(x)= 在1,+)上是增函数.21当 x0 时,u=x 2-1 是减函数,y= 是增函数,函数 f(x)= 在( -,-1上是减函数,21即函数 f(x)的单调递增区间是 1,+),单调递减区间是(-,-1 .点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数 ,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为 :“同增异减”,即复合函数 y=fg(x),如果 y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数 y=fg(x)为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数 y=fg(x)为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是: 求复合函数的定义域;把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减” ,判断或写出函数的单调性或单调区间.注意:本题如果忽视函数的定义域 ,会错误地得到单调递增区间是 0,+),单调递减区间是(-,0 .其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.