1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标明确“方程的根” 与“ 函数的零点 ”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法” 的科学性,体会这些给他们带来的快乐.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:求下列方程的根.(1)6x-1=0;(2)3x2+6x-1=0;(3)3x5+6x-1=0.(如何解,会解吗 ?)问题 2:求下面
2、方程的实数根.lnx+2x-6=0.问题 3:怎么解一般方程 f(x)=0?问题 4:方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x)之间有什么样的关系呢?二、学生探索,尝试解决活动 1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数方程 x2-2x-3=0 的解为 ,函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴有 个交点,坐标为 . 方程 x2-2x+1=0 的解为 ,函数 y=x2-2x+1 的图象与 x 轴有 个交点,坐标为 . 方程 x2-2x+3=0 的解为 ,函数 y=x2-2x+3 的图象与 x 轴有 个交点,坐标为 . 根据以上观察结果,可以得到:结论:一元二次方程的根就是相
3、应的二次函数图象与 x 轴交点的 .若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与 x 轴无交点. 反思:函数 y=f(x)的零点、方程 f(x)=0 的实数根、函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,三者有什么关系?活动 2:所有函数都存在零点吗 ?什么条件下才能确定零点的存在呢?画出函数 f(x)=x2-2x-3 的图象 ,1.在区间- 2,1上有零点,计算 f(-2)= ,f(1)= ,发现 f(-2)f(1) (选填“”)0. 2.在区间2,4上是否也具有这种特点呢?三、信息交流,揭示规律零点存在定理:活动:出示这几个问题让学生思考 ,小组讨论:(1)这个定理前提有几个条件?(
4、2)“有零点”是指有几个零点呢? 只有一个吗?(3)再加上什么条件就“ 有且仅有一个零点 ”呢?(4)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出 f(a)f(b)0.则函数 f(x)在a,b 上( )A.一定没有零点 B.至少有一个零点C.只有一个零点 D.零点情况不确定3.函数 f(x)=ex-1+4x-4 的零点所在区间为( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)4.若函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数 ,且 f(x)在(0,+)上有一个零点.则 f(x)的零点个数为 .参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:(1)x= (2) x= (3)不
5、会解16 -3233问题 2:不会解.问题 3:将方程的解转化为函数 y=f(x)的零点.问题 4:方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标.二、学生探索,尝试解决活动 1:-1,3;2;(- 1,0),(3,0);1;1;(1,0);0;0;不存在.活动 2:1.5 -4 2.具有同样特点三、信息交流,揭示规律如果函数 y=f(x)在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点 ,即存在 c(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.活动:(1)条件有两个 (2)零点不一定只有一个 (3)加上函数是单调函数 (4)不能 (5)定理可以确定零点四、运用规律,解决问题1.C 2.B五、变式演练,深化提高1.D 2.D 3.B 4.3