1、第二章 基本初等函数()2.3 幂函数学习目标掌握幂函数的形式特征及具体幂函数的图象和性质;能应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境请看下列问题,并将每个问题中的 y 表示成 x 的函数.1.如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克,那么她需要支付 y= (x 0)元; 2.如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y= (x 0); 3.如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y= (x 0); 4.如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形场地的边长 y= (x 0); 5.如果某人以 x m3/s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3 的水,那么
2、他注水的时间 y= (x0). 二、自主探索,尝试解决思考:1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析式结构上的共同特征吗?2.根据我们学习的函数的概念,你能不能判断它们能否构成函数?是我们学习过的哪类函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?幂函数的定义(形式定义):请同学们举出一个具体的幂函数.三、信息交流,揭示规律y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1,y=x-2.12请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.总结函数性质,填写表格.y=x3 y=x2 y=x y=x12y=x-1 y=x-2定义域值域奇偶性单调性定点性质总结如下:0
3、 0 时,幂函数 y=x是增函数D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数3.函数 y= 的图象大致是( )354.幂函数 y= 的单调递增区间是 . 345.a=1. ,b=0. ,c=1. 的大小关系是 . 212 9-12 1126.幂函数 f(x)=a (mZ)的图象与 x 轴和 y 轴均无交点,并且图象关于原点对称,求2-8a 和 m.六、反思小结,观点提炼1. 2. 3. 七、作业精选,巩固提高1.课本 P79 习题 2.3.2.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2x B.y=2x3C.y= D.y=xx13.下列函数中,在(- ,0)上是增函数的是( )A.y=x3 B.y
4、=x2C.y= D.y=1 324.已知某幂函数的图象经过点(2, ),求函数的解析式.2参考答案一、设计问题,创设情境1.x 2.x 2 3.x 3 4. 5.x -112二、自主探索,尝试解决幂函数的定义(形式定义):一般地,函数 y=x(R)叫做幂函数,其中 x 是自变量, 是常数.y=x-1,y= ,y=x4,y=x0,y=x-3 等.12三、信息交流,揭示规律y=x3 y=x2 y=x y=x12y=x-1 y=x-2定义域 R R R 0,+) x|x0 x|x0值域 R 0,+) R 0,+) y|y0 (0,+)奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数在( -
5、,0)减在(- ,0)减在(- ,0)增单调性 递增 在(0,+)增递增0,+)增 在(0,+)减在(0,+)减定点 (1,1)四、运用规律,解决问题【例 1】解:考查幂函数 y= ,因为 y= 在(0,+)上单调递增,而且 2.3( ;(3)(a+1)1.5a1.5;(4)(2+a2 .2)-32 3)-32 )-232-23【例 2】解:要使 y= 有意义,x 可以取任意实数,23=32故函数定义域为 R.f(-x)=(-x =f(x),)23=23函数 y= 是偶函数 ;23x 0 1 2 3 4 y 0 1 1.59 2.08 2.52 其图象如图所示.幂函数 y= 在0,+)上单调递增,在( -,0)上单调递减.23思考与讨论:定义域为 R,值域为 R,是奇函数,在( -,+)上是增函数.【例 3】证明:任取 x1,x20,+),且 x10,所以 bc 6.a= 1,m=1,3,5,7六、反思小结,观点提炼1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别;2.常见幂函数的图象和性质;3.幂函数性质的应用.七、作业精选,巩固提高2.C 3.A 4.y= 12