1、第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.2 奇偶性学习目标理解函数的奇偶性及其几何意义, 培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;学会运用函数图象理解和研究函数的性质, 掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境众所周知,我们生活在美的世界中 ,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美)今天 ,我们就来讨论对称美, 请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢 ?下面, 我们以麦
2、当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢 ?二、自主探索,尝试解决问题 1:如图所示,观察下列函数的图象 ,总结各函数之间的共性.问题 2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢?填写表 1 和表 2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表 1x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=x2表 2x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=|x|三、信息交流,揭示规律问题 3:请给出偶函数的定义.1.偶函数的定义问题 4:偶函数的图象有什么特征?问题 5:函数 f(x)=x2,x-1,2是偶函数吗?问题 6:偶函数的定义域有什么特征?问题
3、7:观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性1质.2.奇函数的定义给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:(1)(2)(3)(4)(5)四、运用规律,解决问题【例 1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+ ;1(4)f(x)= .12【例 2】已知函数 f(x)是定义在(-,+ )上的偶函数.当 x(-,0)时,f(x) =x-x4,则当x(0,+)时,f (x)= . 【例 3】已知函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2
4、),且当 x1 时 f(x)0,f(2)=1.(1)求证:f( x)是偶函数 ;(2)求证:f( x)在(0,+ )上是增函数 ;(3)试比较 f(- )与 f( )的大小.52 74五、变式演练,深化提高1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x4,x-3,1;(2)f(x)= ;321(3)f(x)= + ;24 42(4)f(x)= .1+2+11+2+12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x0 时,f (x)=x2+ ,求 f(x).33.已知 f(x)是定义在(-,+ )上的不恒为零的函数, 且对定义域内的任意 x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+
5、xf(y).(1)求 f(1),f(-1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?七、作业精选,巩固提高课本 P39 习题 1.3 A 组第 6 题 ,B 组第 3 题.参考答案问题 2:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等, 也就是说对于函数定义域内任一个 x,都有 f(-x)=f(x).表 1x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9表 2x -3 -2
6、-1 0 1 2 3f(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3问题 3:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数.问题 4:偶函数的图象关于 y 轴对称 .问题 5:函数 f(x)=x2,x-1,2的图象关于 y 轴不对称; 对定义域-1 ,2内 x=2,f(-2)不存在, 即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 不一定在定义域内, 即 f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.问题 6:偶函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 一定也在定义域内 ,此时称函数的定义域关于原点对称.问题 7:一般地,如果对于函数
7、f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称, 其定义域关于原点对称.(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称, 奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法 ;(5)函数的
8、奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部 ”性质.四、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函数 f(x)=x4 是偶函数.(2)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数 f(x)=x5 是奇函数.(3)函数的定义域是(-,0)(0 ,+),对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x),1 1所以函数 f(x)=x+ 是奇函数.1(4)函数的定义域是(
9、-,0)(0 ,+),对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= = =f(x),1(2)12所以函数 f(x)= 是偶函数.12点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤 :首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;确定 f(-x)与 f(x)的关系;作出相应结论:若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数.【例 2】解析:当 x(0,+)时 ,则-xx10,则f(x2)-f(x1)=f(x1 )-f(x1)=f(x1)+f( )-f(x1)=f( ).21 21 21x2x10
10、, 1.21f( )0,即 f(x2)-f(x1)0.21f(x2)f(x1).f(x)在(0,+) 上是增函数.(3)由(1)知 f(x)是偶函数,则有 f(- )=f( ).52 52由(2)知 f(x)在(0,+ )上是增函数, 则 f( )f( ).f(- )f( ).52 74 52 74点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用 .判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较, 其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.五、变式演练,深化提高1.解 :(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数 f(
11、x)=x2+x4,x-3,1既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为它的定义域为x|x R 且 x1,并不关于原点对称, 所以函数 f(x)= 既不是奇函321数又不是偶函数.(3)x2-40 且 4-x20,x=2,即 f(x)=0,其定义域是 -2,2.f(2)=0,f(-2)=0,f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x).f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是 R.f(-x)+f(x)= +1+211+2+1 1+2+11+2+1=1+2(+1)2+1+2(1)2(1+2+1)(1+2+1)=1+2221+1+22+21(1+
12、2+1)(1+2+1)=0,f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.点评:本题主要考查函数的奇偶性 .定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时, 则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)是否相等 .(2)当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数; 当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.(3)当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时 ,此函数既是奇函数又是偶函数.(4)当 f(-x)f(x)且 f(-x)-f(x)时 ,此函数既不是奇函数也不是偶函数.(5)判断解析式复杂的函数的
13、奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简 f(-x)+f(x)来判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是否成立.2.解 :当 x=0 时,f (-0)=-f(0),则 f(0)=0;当 x0,由于函数 f(x)是奇函数, 则f(x)=-f(-x)=-(-x)2+ =-x2+ .3() 3综上所得,f(x) =2+3,0,0,=0,2+3,0.3.解 :(1)f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),令 x=y=1 时,有 f(11)=1f(1)+1f(1).f(1)=0.令 x=y=-1 时,有 f(-1)(-1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1).f(-1)=0.(2)是奇函数.f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1).将 f(-1)=0 代入得 f(-x)=-f(x),函数 f(x)是(-,+ )上的奇函数 .