1、第二章 基本初等函数()2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算( 第一课时)学习目标理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:在新课标高中数学 A 版必修 1 中 P57 第二章 2.1.2 的例 8 中,我们能从关系y=131.01x 中, 算出任意一个年头 x 的人口总数.反之,如果问 “哪一年的人口达到 18 亿,20 亿,30 亿,”,该如何解决 ?二、自主探索,尝试解决问题 2:在问题 1 列出的式子中 ,x 分别等于多少?这一问题也就是:若 ax=N,已知 a 和 N 如何求指数 x(其中,a 0,且 a1)
2、为了解决这一问题,古代的数字家创造了“对数”来表示 x,即对数的定义:注意:底数的限制: ; 对数的书写格式;另外,在以后学习对数的过程中我们还要经常用到两种特殊的对数,即1.常用对数:以 10 为底的对数 ;log10N 简记为 . 2.自然对数:以无理数 e=2.71828为底的对数;logeN 简记为 . 三、信息交流,揭示规律问题 3:由对数的定义知,对数由指数式转化而来 ,那么指数式 ax=N 与对数式 x=logaN 之间的关系是什么? 怎样应用?当 a0,且 a1 时,即指数式 幂底数 a 指数 x 幂 N 问题 4:我们要注意到,a x=N 中的 a0 且 a1,因此,log
3、aN=x 也要求 a0 且 a1;还有logaN=x 中的真数 N 能取什么样的数呢? 这是为什么?四、运用规律,解决问题【例 1】指数式化为对数式:(1)41=4,61=6,7.81=7.8;(2)40=1,60=1,7.80=1.问题 5:由例 1 中的 log44=1,log66=1,log7.87.8=1 与 log41=0,log61=0,log7.81=0,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎么证明?结论:log a1= ,log aa= (其中,a0,且 a1). 证明:【例 2】求下列各式的值.(1) = ; = ;0. = . 223 334 50.5100(2)log223=
4、 ;log 334= ;log 0.50.5100= . 问题 6:由例 2 中的两个小题, 我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎样证明?结论:对数恒等式, = ,log aan= . 证明:【例 3】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)54=625;(2)2-6= ;(3)( )m=5.73;164 13(4)log39=2;(5)log5125=3;(6)lo 16=-4.12五、变式演练,深化提高【例 4】求下列各式中 x 的值:(1)log64x=- ;23(2)logx8=6;(3)lg100=x;(4)-lne2=x.六、反思小结,观点提炼1.对数定义(关键);2.指数式
5、与对数式互化(重点);3.求值(重点) .七、作业精选,巩固提高1.课本 P68 练习题第 1,2,3,4 题;2.课外阅读:P 68 对数的发明.参考答案一、设计问题,创设情境=1.01x, =1.01x, =1.01x1813 2013 3013二、自主探索,尝试解决问题 2:一般地,如果 ax=N(a0,且 a1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 .注意:a0,且 a1;(如图);1.lgN 2.ln N三、信息交流,揭示规律问题 3:指数式 对数式幂底数 a 对数底数指数 x 对数幂 N 真数问题 4:因为 a0
6、且 a1,所以 ax=N0.因此,log aN=x 中真数 N 也要求大于零,即负数与零一定没有对数.四、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)log 44=1,log66=1,log7.87.8=1;(2)log41=0,log61=0,log7.81=0.问题 5:0;1.证明:把 a1=a,a0=1(其中,a0,且 a1)化为对数式,即得到上述结论 .【例 2】(1)3;4;100. (2)3;4;100.问题 6:N;n.证明:(1)由 ax=N 与 x=logaN 得 =N;(2)由 an=an 得 logaan=n.【例 3】解:(1)log 5625=4;(2)log2 =-6;164(3)lo 5.37=m;13(4)32=9;(5)53=125;(6)( )-4=16.12五、变式演练,深化提高【例 4】解:(1)因为 log64x=- ,则 x=6 =(43 =4-2= ;23 4-23 )-23 116(2)因为 logx8=6,所以 x6=8,x= =(23 ;816 )16=212=2(3)因为 lg100=x,所以 10x=100,10x=102,于是 x=2;(4)因为-lne 2=x,所以 lne2=-x,e2=e-x,于是 x=-2.