1、第二章 基本初等函数()2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质 (第一课时)学习目标通过实际问题了解指数函数的实际背景;理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质;体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境情境 1:我们来考虑一个与医学有关的例子 :大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:某种球菌分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个,一个这样的球菌分裂 x 次后,
2、得到的球菌的个数 y 与 x 的关系式是 y=2x.情景 2:某种机器设备每年按 6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为 1,经过 x 年后,机器的价值为原来的 y 倍,则 y 与 x 的关系为 y=0.94x.问题 1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?共同点: ; 不同点: . 二、自主探索,尝试解决指数函数的概念:一般地,函数 y=ax(a0,且 a1)叫做指数函数,其中 x 是自变量 ,函数的定义域为 R.问题 2:为什么指数函数对底数有 “a0,且 a1”的要求呢?三、信息交流,揭示规律问题 3:你能类比以前研究函数性质的思路 ,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?
3、研究方法: . 研究内容:定义域、值域、 、 、 . 问题 4:如何来画指数函数的图象呢 ?画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质画图. 问题 5:画出指数函数 y=2x,y=( )x 的图象并观察图象有什么特征 ?12问题 6:函数 y=2x 与 y=( )x 的图象有什么关系?能否由 y=2x 的图象得到 y=( )x 的图象?12 12问题 7:选取底数 a 的若干不同的值 ,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题 5 与问题 6 中的性质?问题 8:通过你们画的图象以及老师的演示 ,你们能发现怎样的规律呢?问题 9:从
4、特殊到一般,指数函数 y=ax(a1)有哪些性质?并类比得出 y=ax(00 且 a1)的图象和性质如下表所示 :a1 00,且 a1)的图象经过点(3,),求 f(0),f(1),f(-3)的值.【例 2】指出下列函数哪些是指数函数.(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a ,且 a1).12五、变式演练,深化提高1.若函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则 a= . 2.函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( )A.|a|1 B.|a|0
5、,且 a1)对于任意的实数 x,y 都有( )A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)4.函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax-a 的图象大致是( )5.若 a1,-11)的图象是( )六、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点: 、 和 . 2.研究步骤:定义图象 性质应用.3.思想方法: 、 . 七、作业精选,巩固提高1.课本 P59 习题 2.1A 组第 6,9 题;2.课本 P60
6、 习题 2.1B 组第 3 题.参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:共同点:变量 x 与 y 构成函数关系式 ,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数不同点:底数的取值不同二、自主探索,尝试解决问题 2:若 a=0,当 x0 时,a x 恒等于 0,没有研究价值;当 x0 时,a x 无意义;若 a0 且 a1.三、信息交流,揭示规律问题 3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质研究内容:图象 单调性 奇偶性问题 4:列表 描点 连线问题 5:函数 y=2x 的图象位于 x 轴的上方,向左无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与 y 轴交于(0,1)点.
7、函数 y=( )x 的图象位于 x 轴的上方,向右无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象12是下降的,与 y 轴交于(0,1)点.问题 6:y=2x 与 y=( )x 的图象关于 y 轴对称.实质是 y=2x 上的点 (-x,y)与 y=( )x 上的点( x,y)12 12关于 y 轴对称. 所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.问题 7:分别取 a=3, ,4, ,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数 y=3x,y=( )x,y=4x,y=( )x13 14 13 14的图象.可用多媒体画出 y=3x,y=( )x,y=4x,y=( )x 的图
8、象如下:13 14问题 8:底数分 a1 和 0a1 两种情况.问题 9:R (0,+) (0,1) R R四、运用规律,解决问题【例 1】解:因为 f(x)=ax 的图象经过点(3,),所以 f(3)=,即 a3=,解得 a= ,于是 f(x)= .13 3所以,f(0)= 0=1,f(1)= ,f(-3)=-1= .13=3 1【例 2】解:(1)(5)(8) 为指数函数;(2)是幂函数(后面 2.3 节中将会学习 );(3)是-1 与指数函数 4x 的乘积;(4)底数-40,故不是指数函数;(6)指数不是自变量 x,而底数是 x 的函数;(7)底数 x 不是常数.除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义.五、变式演练,深化提高1.2 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B六、反思小结,观点提炼1.知识点:指数函数的概念 图象 性质3.思想方法:数形结合 分类讨论