1、第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念(第一课时 )学习目标会用集合与对应的语言来刻画函数, 理解函数符号“y=f(x)” 的含义; 通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力 ,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律, 逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流 ,发展数学的应用意识 ;掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性 ,激发学生学习的积极性 .合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:给出下列三种对应:(
2、 幻灯片 )一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位 :s)变化的规律是 h=130t-5t2.这里,炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A=t|0t26,炮弹距地面的高度 h 的变化范围是数集 B=h|0h845.则有对应: f:th=130t-5t2,tA,hB.近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:10 6km2)随时间 t(单位: 年) 从 19792001 年的变化情况.南极臭氧层空洞的面积根据图中的曲线可知,时间 t 的变
3、化范围是数集 A=t|1979t2001,臭氧层空洞面积 S 的变化范围是数集 B=S|0S26,则有对应:f: tS,tA,SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高. 下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明 ,“八五” 计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001城镇居民家庭恩格尔系数(%)53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44
4、.5 41.9 39.2 37.9请仿照描述此表中恩格尔系数与时间 (年)的关系.请同学们思考以上三个对应有什么共同特点?二、自主探索,尝试解决以上三个对应的共同特点: 三、信息交流,揭示规律问题 2:函数的定义域是自变量的取值范围, 那么如何理解这个“ 取值范围”呢?问题 3:函数有意义又指什么?在研究函数时,除了用集合表示数的范围外 ,常会用到区间的概念 .设 a,b 是两个实数,且aa (a,+)x|xa (-,ax|x0 时,求 f(a),f(a-1)的值 .【例 2】求函数 y= - 的定义域.(+1)2+1 1【例 3】已知函数 f(x)= ,那么 f(1)+f(2)+f( )+f
5、(3)+f( )+f(4)+f( )= .21+2 12 13 14五、变式演练,深化提高1.设函数 f(n)=k(kN*),k 是 的小数点后的第 n 位数字,=3.141 592 653 5,则= . (10)1002.已知 A=a,b,c,B=-1,0,1,函数 f:AB 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数 f(x)有( )A.4 个 B.6 个C.7 个 D.8 个3.若一系列函数的解析式相同,值域相同, 但是定义域不同,则称这些函数为“ 同族函数”.那么解析式为 y=x2,值域是1,4 的“同族函数”共有( )A.9 个 B.8 个C.5 个 D.4 个4.若 f(
6、x)= 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 MN 等于( )1A.M B.NC.UM D.UN六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容 ?七、作业精选,巩固提高课本 P24 习题 1.2 A 组第 1,5 题.参考答案二、自主探索,尝试解决集合 A,B 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关系 f:AB 下,在数集 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应 .三、信息交流,揭示规律问题 2:自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.问题 3:函数有意义是指:自变量的取值使分母不为 0;被开方数为非负数;如果函数有实际
7、意义时,那么还要满足实际取值等 .四、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 解得-3x-2,+30,+20.即函数的定义域是-3,-2 )(-2,+).(2)f(-3)= + =-1;3+313+2f( )= + = + .23 23+3 123+238 333(3)a0,a-3,-2)(-2,+),即 f(a),f(a-1)有意义.则 f(a)= + ;+31+2f(a-1)= + = + .1+311+2 +2 1+1【例 2】答案:x|x1,且 x-1.点评:本题容易错解:化简函数的解析式为 y=x+1- ,得函数的定义域为x|x1 .其原1因是
8、这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前 ,不要化简解析式 .【例 3】解析:法一:原式= + + + + + + = + + + + + + = .121+12 221+22 (12)21+(12)2 321+32 (13)21+(13)2 421+42 (14)21+(14)2124515910110161711772法二:由题意得 f(x)+f( )= + = + =1.则原式 = +1+1+1= .1 21+2 (1)21+(1)2 21+2 11+2 12 72答案:72点评:本题主要考查对函数符号 f(x)
9、的理解.对于符号 f(x),当 x 是一个具体的数值时,相应地 f(x)也是一个具体的函数值.解法二没有分别求代数式中的每个函数值,而是看到代数式中含有 f(x)+f( ),故先探讨 f(x)+f( )的值,从而使问题得以简单化 .求含有多个函数符号的代数式1 1值时, 通常不是求出每个函数值 ,而是观察这个代数式的特点 ,找到规律再求解.受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解, 虽然可行,但是这样会浪费时间, 得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.五、变式演练,深化提高1.分析 :由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=
10、1,则有 =1.(10)100答案:12.解析 :当 f(a)=-1 时,则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有 2 个;当 f(a)=0 时,则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有 3 个 ;当 f(a)=1 时,则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有 2 个 .综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个).故选 C 项.答案:C点评:本题主要考查对函数概念的理解 ,用集合的观点来看待函数 .3.分析 :“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“ 同族函数”的定义域中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数.令 x2=1,得 x=1;令 x2=4,得 x=2.所有“同族函数”的定义域分别是1,2 ,1,-2,-1,2,-1,-2,1,-1,2,1,-1,-2,1,-2,2,-1,-2,2,1,-1,-2,2,则“同族函数”共有 9 个.答案:A4.分析:由题意得 M=x|x0,N=R,则 MN=x|x0=M.答案:A