1、第二章 基本初等函数()2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第二课时)学习目标理解分数指数幂的概念;掌握分数指数幂和根式之间的互化;掌握分数指数幂的运算性质;培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢 ?问题 2:考古学家根据上式可以知道 ,当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后
2、,它体内碳 14 的含量 P 分别为( ,( ,( .那么这些数( ,( ,( 的意义究竟是什12)6000573012)10000573012)1000005730 12)6000573012)10000573012)1000005730么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?二、自主探索,尝试解决问题 3:观察以下式子,你能总结出什么规律 ?(a0) =a2= ;510=3(2)5 105 =a4= ;8=(4)2 82 =a3= ;412=4(3)4 124 =a5= .10=(5)2 102问题 4:利用问题 3 中的规律, 你能表示下列式子吗?(x0,m,nN*,且 n1).453,
3、375,57,问题 5:你能用方根的意义来解释问题 4 中的式子吗?问题 6:你能把问题 3,4 中得到的结论推广到一般的情形吗?规定:正数的正分数指数幂的意义是 (a0,m,nN*,且 n1).=三、信息交流,揭示规律问题 7:负整数指数幂的意义是怎样规定的 ?问题 8:你能得出负分数指数幂的意义吗 ?规定:正数的负分数指数幂的意义是 (a0,m,nN*,且 n1).-=1=1问题 9:你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义呢 ?问题 10:综合上述问题 7,8,9,如何规定分数指数幂的意义 ?分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是 (a0,m,nN*,且 n1),正数的负分数指数幂
4、的意=义是 (a0,m,nN*,且 n1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意-=1=1义.问题 11:分数指数幂的意义中 ,为什么规定 a0,去掉这个规定会产生什么样的后果?问题 12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,(1)aras= (a0,r,sR); (2)(ar)s= (a0,r ,sR); (3)(ab)r= (a0,b0,rR ). 问题 13:若 a0, 是一个无理数,则 a该如何理解?实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即:aras=ar+s(a0,
5、r,sR);(ar)s=ars(a0,r,sR);(ab)r=arbr(a0,b0,rR).四、运用规律,解决问题【例 1】(课本 P51,例 2)求值: ;2 ;( )-5;( .823 5-12 12 1681)-34【例 2】用分数指数幂的形式表示下列各式.a3 ;a2 (a0). 32; 3【例 3】计算下列各式(式中字母都是正数 ):(1)(2 )(-6 )(-3 );2312 1213 1656(2)( )8.14-38【例 4】计算下列各式:(1)( ) ;325 125425(2) (a0).232五、变式演练,深化提高1.计算:(1)(2 )0+2-2(2 -(0.01)0.
6、5;35 14)-12(2)(0.0001 +(27 -( +( )-1.5;)-14 )234964)-12 19(3) ;481923(4)2 .331.56122.化简下列各式:(1) ;372-33-83153 -3-1(2) (1-2 ) ;43-813423+23+23 33(3)( b2)-1(ab-3 )7 ;-32 )12(1213(4) ;1+-121+-12-1(5)( )-3 .32 -4-1六、反思小结,观点提炼(先让学生独自回忆,然后师生共同总结 .)1. . 2. . 3. . 七、作业精选,巩固提高课本 P59 习题 2.1A 组第 2,3,4 题.参考答案一、
7、设计问题,创设情境问题 1:P=( )5730.12问题 2:初中所学的指数是整数 ,而这里的指数是分数形式.二、自主探索,尝试解决问题 3: , , , 的结果中 a 的指数 2,4,3,5 分510=105 8=82 412=124 10=102别写成了 ,形式上变了,本质没变.根据 4 个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方105,82,124,102数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式) .问题 4: .453=534,375=753,57=75,=问题 5:53 的 4 次方根是 ,75 的立方根是 ,a7 的 5 次方根是 ,xm 的 n 次方
8、根是 .结果534 753 75 表明方根的结果和分数指数幂是相通的.三、信息交流,揭示规律问题 7:负整数指数幂的意义是 a-n= (a0),nN*.1问题 9:零的分数指数幂的意义是零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义,例如 0-2= .102=10问题 11:若没有 a0 这个条件会怎样呢?如(- 1 =-1,(-1 =1 具有同样意)13=3-1 )26=6(-1)2义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.问题 12:ar+s a rs a rbr四、运用规律,解决问题【例 1】解: =(
9、23 =22=4;823 )23=23232 =(52 =5-1= ;5-12 )-12=52(-12) 15( )-5=(2-1)-5=25=32;12( =( =( )-3= .1681)-34 23)4(-34) 23 278【例 2】解:a 3 =a3 ; 12=3+12=72a2 =a2 ;32 23=2+23=83=(a =( .3 13)1243)12=23【例 3】解:(1)(2 )(-6 )(-3 )=2(-6)(-3) =4ab0=4a;2312 1213 1656 23+12-1612+13-56(2)( )8=( )8( )8=m2n-3= .14-38 14-38 23【例 4】解:(1)( ) =( ) -5= -5;325 125425523532512=523-12532-12=516 65(2) .232=21223=2-12-23=56=65五、变式演练,深化提高1.(1) (2) (3)3 (4)61615 3147 632.(1) (2)a (3) (4) (5)16 23 2(1-) 1六、反思小结,观点提炼1.分数指数是根式的另一种写法2.无理数指数幂表示一个确定的实数3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的