1、第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大 (小)值 (第一课时)学习目标使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念, 初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;通过对函数单调性定义的探究, 渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力; 通过对函数单调性的证明, 提高学生的推理论证能力 ;通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.合作学习一、设计问题,创设情境德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,
2、18501909),他以自己为实验对象,共做了 163 次实验, 每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次, 达到与第一次学会的同样的标准 .他经过对自己的测试, 得到了一些数据.时间间隔 t 0 分钟 20 分钟 60 分钟 89 小时 1 天 2 天 6 天 一个月记忆量 y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%观察这些数据,可以看出 :记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.当自变量(时间间隔 t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量 y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)
3、.从左向右看 ,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识 ?二、自主探索,尝试解决记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大 ;以时间间隔 t 为 x 轴,以记忆量 y 为 y 轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图 艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律 .随着时间的推移,记忆保持量在递减, 刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律 ,在学习新知识时一定要及时复习巩固 ,加深理解和记忆.问题 1:如图所示为一次函数 y=x、二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象 ,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函
4、数值的哪些变化规律?问题 2:函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义?问题 3:如何理解图象是上升的?问题 4:在数学上规定:函数 y=x2 在区间(0,+ )上是增函数.谁能给出增函数的定义?三、信息交流,揭示规律1.增函数的定义问题 5:增函数的定义中,把“当 x1x2 时,都有 f(x1)f(x2)”,这样行吗?问题 6:增函数的定义中,“当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“” ,步调一致.因此我们可以简称为 :步调一致增函数.问题 6:函数值随着自变量的增大而增大; 从左向右看,图象是上升的.2.减函数定义(板书)
5、一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看 ,图象是下降的.函数值变化趋势: 函数值随着自变量的增大而减小.问题 8:函数 y=f(x)在区间 D 上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大 (减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降) 的.四、运用规律,解决问题【例 1】解:函数 y=f(x)的单调区间是-5,2 ),-2,1),1,3),3,5.其中函数 y=f(x)在区间 -5,2),1,3)上
6、是减函数,在区间-2,1), 3,5上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义 ,以及图象法判断函数单调性 .图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片, 我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是:第一步, 画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【例 2】证明:设 V1,V2(0,+)且 V10,V10,V20. 0,p1p2.(21)12根据减函数的定义知 p= 在(0,+ )上是减函数.点评:本
7、题主要考查函数的单调性 ,以及定义法判断函数的单调性 .定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步, 在所给的区间上任取两个自变量 x1和 x2,通常令 x10.f(x1)-f(x2)2m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又 函数 y=f(x)在a,b上是增函数 ,f(2m-x1)-f(2m-x2)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数 y=f(x)在区间2m-b,2m-a 上是减函数.当函数 y=f(x)在对称轴 x=m 的一侧一个区间a, b上是增函数时,其在 a,b关于直线 x=m的对称区间2m-b,2m-a 上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称, 那么函数 y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.3.解析 :f(x)的定义域是 (0,+), 解得 a1.22+10,324+10. 13f(x)在(0,+) 上是减函数,2a2+a+13a2-4a+1.a2-5a0.0a5.0a 或 1a5,即 a 的取值范围是(0, )(1,5).13 13答案:(0, )(1,5)13