1、第二章 基本初等函数()2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)学习目标理解 n 次方根与根式的概念;正确运用根式运算性质化简、求值;了解分类讨论思想在解题中的应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢 ?我们可以先来考虑这样的问题:当生物死亡了 5730,25730,35730,年后,它体内碳 14 的含量 P 分别为原来的多少?当生物体死亡了 600
2、0 年,10000 年,100000 年后,它体内碳 14 的含量 P 分别为原来的多少?由以上的实例来推断生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系式应该是什么?考古学家根据上式可以知道,生物死亡 t 年后,体内碳 14 含量 P 的值.那么这些数( ,(12)60005730,( 的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.12)10000573012)1000005730二、学生探索,尝试解决问题 1:什么是一个数的平方根 ?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?问题 2:如果 x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?问题 3:如果 x2=a,那么 x 叫做
3、 a 的平方根; 如果 x3=a,那么 x 叫做 a 的立方根;如果x4=a,那么 x 叫做 a 的 4 次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?问题 4:上述结论中的 n 的取值有没有什么限制呢 ?方根的定义:一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n1,且 nN*.三、信息交流,揭示规律试根据 n 次方根的定义分别求出下列各数的 n 次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25 的平方根是 ; (2)27 的立方根是 ; (3)-32 的 5 次方根是 ; (4)16 的 4 次方根是 ; (5)a6 的立方根是 ; (6)0 的 7 次方根是 . 问题 5:观察并
4、分析以上各数的方根 ,你能发现什么?问题 6:请仔细分析上述各题, 并结合问题 5 中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?问题 7:是否任何一个数都有偶次方根 ?0 的 n 次方根如何规定更合理?问题 8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢 ?n 次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数 .这时,a 的 n次方根用符号 表示. (2)当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数 .这时,正数 a 的正的 n 次方根用符号
5、表示,负的 n 次方根用符号 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成 (a0) . 注:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 =0;0当 a0 时, 0,所以类似 =2 的写法是错误的. 416另外,我们规定:式子 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.问题 9:利用上面所学 n 次方根的知识 ,能否求出下列各式的值?(1)( )2;(2) ;(3) ;(4) (a0).5 3(-2)3 4(-2)4 (3-)2问题 10:上面的计算涉及了哪几类问题 ?组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论:(1)( )n=a.例如,( )3=27,( )
6、5=-32. 327 5-32(2)当 n 是奇数时, =a;当 n 是偶数时, =|a|= 例如, =- ,0,-,b).4(3-)4 (-)2【例 2】化简下列各式:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .681 6(-2)2 15-32 48 624五、变式演练,深化提高1.若 xR,yR,下列各式中正确的是( )A. =x+y B. =x-y4(+)4 3344C. =2x D. =0(+3)2+(-3)2 -3+3-2. 成立的条件是( )-2-1=-2-1A. 0 B.x1 C.x1,nN*),则 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时 ,实数 a 的 n 次方根
7、用符号 表示; 当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根用符号 表示 ,负数的偶次方根无意义.式子叫做 ,其中 n 叫做 ,a 叫做被 . 2.在实数范围内,正数的奇次方根是一个 ;负数的奇次方根是一个 .正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数;负数的偶次方根没有意义;0 的任何次方根都是 0. 3.(1)( )n= . (2)当 n 为奇数时, = ;当 n 为偶数时, =|a|= ,0, ,0.七、作业精选,巩固提高1.复习课本 P4850 内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本 P59 习题 2.1A 组第 1 题.参考答案一、设计问题,创设情境,( )2,( )3,.1212
8、12( ,( ,( .12)6000573012)10000573012)1000005730P=( .12) 5730二、学生探索,尝试解决问题 1:若 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根 .同理,若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题 2:如果一个数的 4 次方等于 a,那么这个数叫做 a 的 4 次方根; 如果一个数的 5 次方等于 a,那么这个数叫做 a 的 5 次方根.问题 3:一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.三、信息交流,揭示规律(1)5;(2)3;(3)-2;(4)2;(5)a2
9、;(6)0.问题 5:1.以上各数的对应方根都是整数 ;2.第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6) 题的答案只有一个 ;3.第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题 6:一个数的奇次方根只有一个 ;一个数的偶次方根有两个 ,且互为相反数.问题 7:因为任何一个数的偶次方都是非负数 ,所以负数没有偶次方根;0 的 n 次方等于 0,所以 0 的 n 次方根等于 0.问题 8:(1) ;(2) ,- , . 问题 9:(1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题 10:主要涉及了( )n 与 的问题. 四、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)( )3=-8;3-8(2) =|-10|=10;(-10)2(3) =|3-|=-3;4(3-)4(4) =|a-b|=a-b.(-)2【例 2】解:(1) ;681=634=332=39(2) ;6(-2)2=622=32(3) =- =- ;15-321525 32(4) =x2;48=4(2)4(5) .624=6(|2)2=3|2五、变式演练,深化提高1.D 2.D 3.B 4.2x-18六、反思小结,观点提炼1. 根式 根指数 被开方数 2.正数 负数3.(1)a (2)a a -a