1、第三章 不等式3.4 基本不等式: +23.4 基本不等式 : (第 2 课时)+2学习目标1.进一步掌握基本不等式 (a0,b0).+22.会用基本不等式解决简单最大(小) 值问题.3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时 ,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少?问题 2:用长为 4a 的篱笆围成一个矩形菜园 ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所围成的菜园面积最大?二、信息交流,揭示规律师生交流 1:解答这两道题使用的是什么数学工具 ?你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意
2、什么问题?你是直接使用的基本不等式吗?我们前面学习了函数、数列等知识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问题的步骤是什么呢?三、运用规律,解决问题【例题】用长为 4a 的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设计才能使总面积最大?师生交流 2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么?可以设几个变量?师生交流 3:为什么写不下去了呢 ?那是不是不能用基本不等式求最值了呢?那怎么求最值呢?等号右边为什么不是定值呢?有没有办法解决这个问题呢?师生交流 4:应用基本不等式求最值时 ,应满足什么条件?具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件
3、?四、变式训练,深化提高变式训练 1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 ,其容积为 4800m3,深为 3m.如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少?师生交流 5:这个水池总造价的表达式是什么 ?水深为 3m,容积为 4800m3,池底面积为多少?池壁面积怎样用数学表达式表达?变式训练 2:已知函数 f(x)=x+ .1-1(1)当 x0,2a-x0,所以矩形的面积为 S=x(2a-x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2.由此知当 x=a 时,S 最大为 a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a2.方法二:由
4、方法一得出 S=x(2a-x),因为 =a,(2-)+(2-)2所以 Sa 2,当且仅当 x=2a-x,即 x=a 时,S max=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a2.方法三:由方法一得出 S=x(2a-x) =a2.(+2-2 )2下同方法二.方法四:设矩形的长为 x,宽为 y(x0,y0),则 2x+2y=4a,即 x+y=2a.面积 S=xy =a2,(+2)2当且仅当 x=y,又 x+y=2a,即 x=y=a 时,等号成立,S max=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a2.师生交流 1:;基本不等式;因为问题中涉及两个变量,这两个变量表达的条件和结论符合基本不等式
5、的特征;等号成立的条件 ;问题 2 用到的是基本不等式的变形公式 和+2ab ;设出两个变量 ,用变量表示条件和目标函数,求最值,作答)(+2)2三、运用规律,解决问题师生交流 2:面积=总长宽;两个或一个.学生探究尝试:学生甲:设 AB=x,则 AD= ,00,y0,则 2x+3y=4a,所以菜园的总面积 S=xy= (2x)(3y) a2.16 16(2+32 )2=23当且仅当 2x=3y 时,等号成立.又 2x+3y=4a,所以 x=a,y= .23此时 AB=x,AD= .23答:当长为 a,宽为 a 时菜园总面积最大.23师生交流 4:必须有定值.和 a+b 为定值时,积 ab 有
6、最大值;积 ab 为定值时,和 a+b 有最小值.配凑法.取等号的条件:当且仅当 a=b 时, .+2=四、变式训练,深化提高师生交流 5:总造价=池底单价池底面积+ 池壁单价池壁面积 ;1600m2;池壁面积=2池底长高+ 2池底宽 高.变式训练 1:解:设底面的长为 x m,宽为 y m,水池的总造价为 z 元,根据题意,得z=150 +120(23x+23y)48003=240000+720(x+y),由容积为 4800m3,可得 3xy=4800.因此 xy=1600.由基本不等式与不等式的性质,可得240000+720(x+y)240000+720 2 ,即 z240000+7202 ,1600z297600.当且仅当 x=y=40 时,等号成立.答:将水池的地面设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低 ,最低总造价是 297600 元.变式训练 2:(1)-1 (2)72五、反思小结,观点提炼1.审题建模解模 检验( 审题最重要).2.一正、二定、三相等,缺一不可.3.两种类型,求最大值和求最小值.