1、第二章 数列2.5 等比数列的前 n 项和2.5 等比数列的前 n 项和 (第 1 课时)学习目标掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前 n 项和公式解决一些有关等比数列的简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨班 达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩 ,准备对大臣进行奖赏.国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明的大臣达依尔说 :“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒,在第二个格子内放上 2 颗麦粒,在第三个格子内放上 4 颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的 2 倍的
2、规律,放满棋盘的 64 个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧.”国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?每个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨班 达依尔所要的奖赏就是这个数列的前 64 项和.即求 ,怎么计算? 二、信息交流,揭示规律如何求数列 1,2,4,262,263 各项的和?以 1 为首项,2 为公比的等比
3、数列的前 64 项的和,可表示为:S64=1+2+4+8+262+263 用公比 2 乘以的两边,得2S64=2+4+8+16+263+264 由-可得:S 64=264-1.这种求和方法称为 ,它是研究数列求和的一个重要方法. 等比数列的前 n 项和公式:当 q1 时,S n= 或 Sn= 1(1-)1- 1-1-当 q=1 时,S n=na1公式的推导方法一:一般地,设等比数列 a1,a2,a3,an,它的前 n 项和是Sn=a1+a2+a3+an,由 =1+2+3+,=1-1, 得 =1+1+12+1-2+1-1,=1+12+13+1-1+1,所以(1-q)S n=a1-a1qn.所以当
4、 q1 时, 当 q=1 时, 公式的推导方法二:Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)(1-q)Sn=a1-anq(结论同上) .现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺?国王承诺奖赏的麦粒数为S64= =264-11.841019,1(1-264)1-2据测量,一般一千粒麦子重约为 40g,则这些麦子的总质量约为 7.361017g,约合 7360 亿吨.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢?三、运用规律,解决问题【例 1】求下列等比数列前 8 项的和.(1) ,.12,14,18(2)a1
5、=27,a9= ,q0.1243【例 2】某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果取整数)?四、变式训练,深化提高已知等比数列a n满足 a3=12,a8= ,记其前 n 项和为 Sn.38(1)求数列a n的通项公式 an;(2)若 Sn=93,求 n.五、反思小结,观点提炼参考 答案一、设计问题,创设情境S64=1+2+4+8+262+263二、信息交流,揭示规律“错位相减法” S n=na1=1(1-)1-或 =1-1-三、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)因为 a1= ,q= ,
6、所以当 n=8 时,S n= .12 12 121-(12)81-12=255256(2)由 a1=27,a9= ,可得 =27q3.又由 q0,可得 q=- .1243 1243 13于是当 n=8 时,S 8= .271-(-13)81-(-13) =164081【例 2】分析:第 1 年销售量为 5000 台.第 2 年销售量为 5000(1+10%)=50001.1(台) .第 3 年销售量为 5000(1+10%)(1+10%)=50001.12(台).第 n 年销售量为 50001.1n-1 台.则 n 年内的总销售量为(5000+50001.1+ 50001.12+50001.1
7、n-1)(台).解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同 .所以从今年起,每年的销售量组成一个等比数列a n,其中 a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.于是得到: =30000.5000(1-1.1)1-1.1整理,得 1.1n=1.6.两边取常用对数,得 lg1.1n=lg1.6,即 nlg1.1=lg1.6.用计算器算得n= 5(年).1.61.1答:大约 5 年可以使总销售量达到 30000 台.四、变式训练,深化提高解:(1)设等比数列 an的公比为 q,则解得3=12=12,8=17=38, 1=48,=12, 所以 an=a1qn-1=48 .(12)-1(2)Sn= =96 ,1(1-)1- =481-(12)1-12 1-(12)由 Sn=93,得 96 =93,解得 n=5.1-(12)五、反思小结,观点提炼略