1、第二章 数列2.4 等比数列2.4 等比数列( 第 1 课时)学习目标1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:定义: 通项公式:a n=a1+(n-1)d,(nN *).前 n 项和公式:S n= =na1+ d,(nN *).(1+)2 (-1)2问题:等差数列只是数列的其中一种形式 ,现在来看这三个数列1,2,4,8,;1, ,;-1,1,-1,1,12,1
2、4,18思考:这三个数列是等差数列吗 ?各个数列的各项之间有什么关系?二、信息交流,揭示规律与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?1.定义:如果一个数列从第 2 项起 , ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q0). 2.数学表达式: . 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?结论:等比数列各项均不为零 ,公比 q0.3.通项公式:等比数列a n的首项为 a1,公比为 q,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a2q2=a1q3,以此类推,可以得到 an 用 a1和 q 表
3、示的数学表达式吗?归纳猜测得到: . 三、运用规律,解决问题【例 1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,- ,- ,.12,1418【例 2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)?【例 3】(1)一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项;(2)一个等比数列的第 9 项是 ,公比是- ,求它的第 1 项.49 13四、变式训练,深化提高变式训练 1:已知等比数列a n中 an+1an,且 a3+a7=3,a2a8=
4、2,则 等于( )117A. B. C. D.212 23 32变式训练 2:已知等比数列a n的公比为正数,且 a3a9=2 ,a2=1,则 a1等于( )25A. B. C. D.212 22 2变式训练 3:在等比数列a n中 ,a5=-16,a8=8,则 a11等于( )A.-4 B.4 C.-2 D.2五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.二、信息交流,揭示规律1.每一项与它的前一项的比等于同一常数2. =q(n
5、N *)+13.an=a1qn-1三、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)数列的首项为 1,公比为 1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;(3)数列的首项为 1,公比为- ,所以是等比数列.12【例 2】解:设这种物质最初的质量是 1,经过 n 年,剩留量是 an,那么:经过 1 年,剩留量为 a1=10.84=0.84,经过 2 年,剩留量为 a2=0.84a1=0.840.84=0.842,经过 3 年,剩留量为 a3=0.84a2=0.840.842=0.843,经过 n 年,剩留量为 an=0.84an-1.因此 an 构成一个等比数列a n,其中
6、 a1=0.84,q=0.84.设 an=0.5,则 0.84n=0.5 两边取对数,得 lg0.84n=lg0.5,于是 nlg0.84=lg0.5,n=0.50.84用计算器算得 n4.答:这种物质的半衰期大约为 4 年.【例 3】解:(1)设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么两式相比得 q= ,代入其中一个方程,得 a1= ,12=12,13=18, 32 163因此,a 2=a1q= =8.16332(2)设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么 a9=a1q8,即 =a1 ,解得 a1=2916.49 (-13)8四、变式训练,深化提高变式训练 1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义 ,列出一个或多个等式来求解.由 a2a8=a3a7,得 解得3+7=3,37=2,+1, 3=1,7=2,因此 =2.选 D.117=73答案:D变式训练 2:分析:设等比数列a n的公比为 q,由已知得 a1q2a1q8=2(a1q4)2,即 q2=2,又因为等比数列a n的公比为正数,所以 q= ,故 a1= ,选 B.22=12=22答案:B变式训练 3:分析:设等比数列a n的公比为 q,由已知得 a8=a5q3,即 8=(-16)q3,q3=- ,所以12a11=a8q3=8 =-4.选 A.(-12)答案:A五、反思小结,观点提炼略