1、第二章 数列2.2 等差数列2.2 等差数列( 第 1 课时)学习目标掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程; 了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题.让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的性质,再逐步扩大到一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力.通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯.合作学习一、设计问题,创设情境1.通常情况下,从地面到 11km 的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你根据下表估计一下 7km 高空的温度 .距地面的高度(km) 1
2、2 3 4 5 6 7温度() 38 32 26 20 14 8思考:依据前面的规律,填写 2,3 题:2.1,4,7,10,( ),16,3.2,0,-2,-4,-6,( ),它们共同的规律是什么?从第 2 项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,我们把有这一特点的数列叫做等差数列.二、信息交流,揭示规律4.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第 2 项起, ,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 思考:(1)定义中的关键词有哪些?(2)公差 d 是哪两个数的差?5.等差数列定义的数学表达式: 试一试:它们是等差数列吗?(1)1,3,5,7,9,
3、2,4,6,8,10,;(2)5,5,5,5,5,5,;(3)-1,-3,-5,-7,-9,;(4)数列a n,an+1-an=3.6.等差数列的通项公式探究 1:等差数列的通项公式(求法一: 不完全归纳法)如果等差数列a n的首项是 a1,公差是 d,那么这个等差数列中的 a2,a3,a4如何表示?a n 呢?根据等差数列的定义可得:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,.所以 a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,由此得 an= . 因此等差数列的通项公式就是:a n=a1+(n-1)d,nN *.探究 2:
4、等差数列的通项公式(求法二: 叠加法)根据等差数列的定义可得:2-1=3-2=-1-2=-1=将以上 n-1 个式子相加所得到的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,nN *.三、运用规律,解决问题7.(1)求等差数列 8,5,2,的第 20 项.(2)等差数列-5, -9,-13,的第几项是-401?8.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km, 起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4km)计费 10元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路通畅,等候时间为 0,则需要支付多少车费?9.在等差数列中,已知 a5=10,a12=31,求首项 a1与公差 d.
5、四、变式训练,深化提高10.已知等差数列a n中,a 3=9,a9=3,求公差 d.11.在等差数列a n中,a 1=13,a3=12,若 an=2,求 n.12.等差数列a n中,a 1+a5=10,a4=7,求数列a n的公差.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.22.133.-8二、信息交流,揭示规律4.每一项与它的前一项的差等于同一个常数 思考(答案略)5.an-an-1=d(d 是与 n 无关的常数,nN *)试一试:(2)(3)(4)是,(1)不是.6.a1+(n-1)d三、运用规律,解决问题7.(1)解:因为 a1=8,a2=5,所以 d=a2-a1=-3,n
6、=20.于是 a20=a1+(n-1)d=8+(20-1)(-3)=-49.(2)解:因为 a1=-5,a2=-9,所以 d=a2-a1=-4,于是-401=-5+ (n-1)(-4)解得 n=100,所以-401 是该数列的第 100 项.8.解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2元.所以,可以建立一个等差数列 an来计算车费.令 a1=11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2.那么,当出租车行至 14km 处时,n=11,此时需要支付车费 a11=11.2+(11-1)1.2=23.2(元) .答:需要支付车费 23.2 元.
7、9.解:由 an=a1+(n-1)d,得 解得1+4=10,1+11=31, 1=-2,=3. 四、变式训练,深化提高10.解:等差数列a n中,由等差数列的通项公式 ,可得a3=a1+2d,a9=a1+8d.解得,d=-1.即等差数列的公差 d=-1.11.分析:根据 a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得 d 的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让其等于 2 得到关于 n 的方程,求出方程的解即可得到 n 的值.解:由题意得 a3=a1+2d=12,把 a1=13 代入求得 d=- ,12则 an=13+(n-1) =- n+ ,由 an=2,得- n+ =2,解得 n=23.(-12) 12 272 12 27212.分析:设数列a n的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值.解:设数列a n的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2.