1、第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.1 不等关系与不等式 (第 2 课时)学习目标1.掌握常用不等式的基本性质.2.会将一些基本性质结合起来应用.3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:等式的性质有哪些? 请大家用符号表示出来.问题 2:根据等式的这些性质, 你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.二、信息交流,揭示规律问题 3:上面得到的结论是否正确 ,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢?问题 4:请大家用作差法证明性质 (4).问题 5:利用上面的性质,证明不等式的
2、下列性质 :性质 5 如果 ab,cd,那么 a+cb+d;性质 6 如果 ab0,cd0,那么 acbd;性质 7 如果 ab0,那么 anbn(nN,n1);性质 8 如果 ab0,那么 (nN,n2) .三、运用规律,解决问题【例题】已知 ab0,c问题 6:观察条件和结论中的不等式有什么差异 ?用不等式的哪些性质可以将条件向结论转化?问题 7:请大家思考还有其他证明方法吗 ?请大家尝试一下.问题 8:用作差法比较两个数的大小 ,一般经历哪几个步骤?四、变式训练,深化提高变式训练 1:下列结论的正误, 正确的打“”,错误的打“”.若 bb,则 . ( )1b. ( )1b+d,则 ab,
3、cd.( )若 a2b20,则 ab0. ( )若 ,则 ab. ( )变式训练 2:设 xb,那么 bb.即 abbb,bc,那么 ac.即 ab,bcac.(3)如果 ab,那么 a+cb+c.(4)如果 ab,c0,那么 acbc;如果 ab,c0ab;a-b=0a=b;a-bb,c0,所以 ac-bc=c(a-b)0,所以 acbc.同理可证如果 ab,cb,所以 a+cb+c. 因为 cd,所以 b+cb+d. 由得,a+cb+d.(6) acbd;,0,0(7)因为 ab0,由性质(6)可得 anbn,(nN ,n1);(8)(反证法 )假设 ,若 这都与 ab 矛盾,三、运用规律
4、,解决问题【例题】证明:因为 ab0,所以 ab0, 0.1于是 a b ,即 .1 11问题 6:结论中的 a,b 在分母上 ,且结论中 a,b,c 在同一个不等式中;性质(4).问题 7:有,用作差法.证明:因为 ,=-=(-)又因为 ab0,所以 b-a0.又 c0,所以 .(-) 问题 8:作差变形定号 结论,四个步骤.四、变式训练,深化提高变式训练 1:答案: 、变式训练 2:解:方法一:(x 2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)x2+y2-(x+y)2=-2xy(x-y),x0,x-y0,(x 2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).方法二:xy2,x+y(x2-y2)(x+y).变式训练 3:解析:由题设得 02,0 ,36- - 0,所以- 2- .6 3 6 3答案:D五、反思小结,观点提炼略