1、第二章 数列2.3 等差数列的前 n 项和2.3 等差数列的前 n 项和 (第 1 课时)学习目标掌握等差数列前 n 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列前 n 项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前 n 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;用方程思想认识等差数列前 n 项和的公式,利用公式求 Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前 n 项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值.合作学习一、设计问题,创设情境1.一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔 ,往上每一层都比它下面一层多放一支
2、,最上面一层放 100 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔 ?问题就是 这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前 100 项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?二、信息交流,揭示规律2.公式推导设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d,Sn=
3、a1+a2+a3+an=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一:运用基本量思想,将各项用 a1和 d 表示,得Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d,有以下等式 a1+a1+(n-1)d=(a1+d)+a1+(n-2)d=(a1+2d)+a1+(n-3)d=,问题是一共有多少个 ,似乎与 n 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了. 思路二:上面的等式其实就是 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,为回避个数问题,做一个改写Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+
4、a3+a2+a1,两式左右分别相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),2Sn=n(a1+an)于是有 .这就是倒序相加法. 思路三:受思路二的启发,重新调整思路一 ,可得 2Sn=na1+a1+(n-1)d,于是Sn=na1+ d.(-1)2综合思路二和思路三得到了两个公式: 和 . 三、运用规律,解决问题3.求和:(1)101+100+99+98+97+64;(2)2+4+6+8+2n(结果用 n 表示).4.等差数列 2,4,6,中前多少项的和是 9900?5.2000 年 11 月 14 日教育部下发
5、了关于在中小学实施“校校通”工程的通知.某市据此提出了实施“ 校校通” 工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少 ?四、变式训练,深化提高6.等差数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 S3=6,a4=8,求公差 d.7.设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和,若满足 an=an-1+2(n2),且 S3=9,求首项 a1.五、反思小结,
6、观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.“1+2+3+4+100=?”二、信息交流,揭示规律2.a1+a1+(n-1)d S n= S n= S n=na1+ d(1+)2 (1+)2 (-1)2三、运用规律,解决问题3.解:(1)101,100,99,98,97, ,64 可以看做是一个首项为 101,公差为-1 的等差数列,由等差数列的通项公式,可得 64=101+(n-1)(-1),解得 n=38,于是 Sn= =3135.38(101+64)2另外也可用公式 Sn=na1+ d 来求解,S n=38101+ (-1)=3135.(-1)2 38(38-1)2(2)2+4+6+8+2n
7、 可以看做是等差数列2n 的前 n 项和 ,则 Sn= =n2+n,(2+2)2另外可运用公式 Sn=na1+ d 来求解.(-1)24.解:由题知,等差数列首项 a1=2,公差 d=2,由 Sn=na1+ d,得 2n+ 2=9900,即(-1)2 (-1)2n2+n-9900=0,解得 n=-100(舍去), 或 n=99,所以等差数列 2,4,6,中的前 99 项的和是 9900.5.解:根据题意,从 20012010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元.所以,可以建立一个等差数列a n,表示从 2001 年起各年投入的资金 ,其中 a1=500,d=50.那么,到 2010 年(n=10),投入的资金总额为S10=10500+ 50=7250(万元)10(10-1)2答:从 20012010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.四、变式训练,深化提高6.解:等差数列a n的前 n 项和为 Sn,S 3=6,即 a1+a2+a3=6a 2=2.a 4=8,8=2+ 2d,d=3.7.解:a n=an-1+2(n2),a n-an-1=2(n2),等差数列a n的公差是 2.由 S3=3a1+ 2,即 3a1+6=9,解得 a1=1.322五、反思小结,观点提炼略