1、第二章 数列2.3 等差数列的前 n 项和2.3 等差数列的前 n 项和 (第 2 课时)学习目标进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题,提高应用意识.合作学习一、设计问题,创设情境复习引入1.通项公式: 2.求和公式: 3.两个公式中含有五个量,分别是 ,把公式看成方程,能解决几个量? 4.Sn 是关于 n 的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值?5.Sn 与 an 的关系:S n=a1+a2+a3+an-1+an,如何求数列a n的通项公式?二、信息交流,揭示规律6.两个公式中含有五个量,分别是 Sn,an,n,d,a1
2、,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”.an=a1+(n-1)d,Sn= =na1+ d.(1+)2 (-1)27.Sn 是关于 n 的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量 n 是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前 n 项和 Sn 的最值,方法更具有一般性.Sn= , 有最大值; 有最小值. 8.Sn 与 an 的关系:S n=a1+a2+a3+an-1+an 如何求数列a n的通项公式?Sn-1=a1+a2+a3+an-1(n2)只要两式相减就会得到 an=Sn-Sn-1(n2),只不过这个表
3、达式中不含有 a1,需要单独考虑a1 是否符合 an=Sn-Sn-1.类似于分段函数.an= ,最后验证是否可以用一个式子来表示. 三、运用规律,解决问题9.已知一个等差数列a n的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,由此可以确定求其前 n 项和的公式吗?10.已知等差数列 5,4 ,3 ,的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的值.274711.已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2+ n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差12数列?四、变式训练,深化提高12.已知a n是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5.(1)求a n的通项公式 an;
4、(2)求a n前 n 项和 Sn 的最大值.13.已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2+ n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等12差数列?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.an=a1+(n-1)d2.Sn= =na1+ d(1+)2 (-1)23.Sn,an,n,d,a1二、信息交流,揭示规律7. n2+ n=2 (1-2) 2+1(1-2)212(1-2)20,+10 0,+108.an=1(=1),-1(2)三、运用规律,解决问题9.分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一次方程,然后确定 a1 与 d,
5、从而得到所求前 n 项和的公式.解:由题意知 S10=310,S20=1220,将它们代入公式 Sn=na1+ d,得到(-1)2101+45=310,201+190=1220.解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1=4,d=6,所以 Sn=4n+ 6=3n2+n(-1)2这就是说,已知 S10 与 S20 可以确定这个数列的前 n 项和的公式,这个公式是 Sn=3n2+n.10.解:方法一:令公差为 d,则d=a2-a1=a3-a2=3 -4 =- ,4727 57所以 Sn= =- .225+(-1)(-57)=75-5214 514(-152)2+112556又 nN *,所以当
6、 n=7 或者 n=8 时,S n 取最大值.方法二:d=a 2-a1=a3-a2=3 -4 =- ,4727 57其通项公式为 an=5+(n-1) =- n+ .(-57) 57 407因为 a1=50,d=- 0,所以数列 an的前 n 项和有最大值.57即有 解得 即 7n8,又 nN *,=-57+4070,+1=-57(+1)+4070, 8,7,所以当 n=7 或者 n=8 时,S n 取最大值.11.解:由题意知,当 n=1 时,a 1=S1= ,当 n2 时,S n=n2+ n, 32 12Sn-1=(n-1)2+ (n-1), 12由-得 an=Sn-Sn-1=2n- ,1
7、2又当 n=1 时,21- =a1,所以当 n=1 时,a 1 也满足 an=2n- ,12=32 12则数列a n的通项公式为 an=2n- (n1,nN ).12这个数列是等差数列,a n-an-1= =2(这是一个与 n 无关的常数).(2-12)2(-1)-12四、变式训练,深化提高12.解:(1)设a n的公差为 d,由已知条件 , 解出 a1=3,d=-2,1+=1,1+4=-5,所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2,(-1)2所以当 n=2 时,S n 取到最大值 4.13.解:由题意知,当 n=1 时,a 1=S1= ,52当 n2 时,S n=n2+ n+1, S n-1=(n-1)2+ (n-1)+1, 12 12由-得 an=Sn-Sn-1=2n- ,12又当 n=1 时,21- a1,所以当 n=1 时,a 1 不满足 an=2n- ,12=32 12则数列a n的通项公式为 an=52(=1),2-12(2).这个数列不是等差数列,a 2-a1a3-a2=a4-a3=2.五、反思小结,观点提炼略