1、第一章 解三角形1.2 应用举例1.2 应用举例( 第 4 课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.3.进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步提升研究问题和发现问题的能力,在探究中体验成功的愉悦.4.在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,做到不拘一格,一题多解.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式 ,今天我们来学习它的另一个表达公式.在ABC 中,边 BC,CA,AB 上的高分别记为 ha,hb,hc,那么如何用已知边和角表示它们?
2、问题 2:根据以前学过的三角形面积公式 S= ah,应用以上求出的高的公式如 ha=bsin C12代入,可以推导出下面的三角形面积公式:S= absin C,大家能推出其他的几个公式吗?12二、信息交流,揭示规律问题 3:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的面积?三、运用规律,解决问题【例 1】在ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm2).(1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;(2)已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=3
3、8.7cm.【例 2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1m2)四、变式训练,深化提高【例 3】在ABC 中,求证:(1) ;2+22 =2+22(2)a2+b2+c2=2(bccos A+cacos B+abcos C).五、限时训练1.已知在ABC 中,sin Asin Bsin C= 324,那么 cos C 的值为( )A.- B. C.- D.14 14 23 232.在ABC 中,A=120,b=1,面积为 ,则 等于( )3+A. B. C.2
4、D.42393 393 7 73.等腰三角形顶角的余弦值为 ,则底角的正弦值为 . 7254.在ABC 中,已知 a 比 b 长 2,b 比 c 长 2,且最大角的正弦值是 ,则面积 S= . 325.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积.六、反思小结,观点提炼求三角形面积的公式:参 考答案一、设计问题,创设情境问题 1:ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.问题 2:同理,可得 S= bcsin A,S= acsin B.12 12二、信息交流,揭示规律问题 3
5、:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.三、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)应用 S= acsin B,得 S= 14.823.5sin148.590.9(cm2).12 12(2)根据正弦定理, ,c= ,= S= bcsin A= b2 .12 12A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5,S= 3.162 4.0(cm2).12 65.851.562.7(3)根据余弦定理的推论,得 cos B= 0.7697,2+2-22=38.72+41.42-27.32238.741.4sin B= 0.6384,1-21-0.76972应用 S= acs
6、in B,得 S 41.438.70.6384511.4(cm2).12 12【例 2】解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论 ,cos B= 0.7532,2+2-22=1272+682-882212768sin B= 0.6578,1-0.75322应用 S= acsin B,S= 681270.65782840.4(m2).12 12答:这个区域的面积是 2840.4m2.四、变式训练,深化提高【例 3】证明:(1)根据正弦定理,可设 =k,=显然 k0,所以左边 = =右边.2+22 =22+2222 =2+22(2)根据余弦定理的推论,右边=2 (2+2-2
7、2+2+2-22+2+2-22)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.五、限时训练1.A 2.C 3. 4.45 15345.分析:把四边形 ABCD 的面积转化为ABD 与 BCD 的面积和.解:如图,在圆内接四边形 ABCD 中,连接 BD,因为 A+C=180,所以 sin A=sin C,于是,四边形 ABCD 的面积为S 四边形 ABCD=SABD+SBCD= (ABAD+BCCD)sin A= (24+64)sin A=16sin A,12 12在ABD 与BCD 中,由余弦定理得20-16cos A=52-48cos C,又c
8、os C=-cos A ,64cos A=-32,cos A=- ,A= 120.12将 A=120代入 S 四边形 ABCD=16sin A,得 S 四边形 ABCD=16sin120=16 =8 .32 3六、反思小结,观点提炼利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯.