1、湖南省永州市 2019 年中考数学试卷(解析版)一、选择题（每小题 4 分，本大题共 10 个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）2 的绝对值为（ ）A B C2 D22 （4 分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）A B C D3 （4 分）2019 年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客 140.42 万人次，实现旅游综合收入8.94 亿元，则“旅游综合收入 ”用科学记数法表示正确的是（ ）A
2、1.404210 6 B14.04210 5 C8.9410 8 D0.89410 94 （4 分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了 8 块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（ ）A BC D5 （4 分）下列运算正确的是（ ）A a2+a3 a5 B （ a3） 2 a5C （ ab） 2 a2b2 D6 （4 分）现有一组数据： 1，4，3 ，2，4 ， x若该组数据的中位数是 3，则 x 的值为（ ）A1 B2 C3 D47 （4 分）下列说法正确的是（ ）A有两边和一角分别相等的两个三角形全等B有一组对边
3、平行，且对角线相等的四边形是矩形C如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8 （4 分）如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且点 O 是 BD 的中点，若AB AD5， BD8， ABD CDB，则四边形 ABCD 的面积为（ ）A40 B24 C20 D159 （4 分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比 a： b： c： d： e2 ：3：4：3 ：3（因条件限制，只有图示
4、中的五条运输渠道） ，当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）A甲 B乙 C丙 D丁10 （4 分）若关于 x 的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本大题共 8 个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题 4 分，共 32 分）11 （4 分）分解因式： x2+2x+1 12 （4 分）方程的解为 x 13 （4 分）使代数式有意义的 x 取值范围是 14 （4 分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为 100 分）的成绩统计表：同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲
5、 90 88 92 94 91乙 90 91 93 94 92根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 15 （4 分）已知 AOB60， OC 是 AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线DE OA，垂足为点 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图所示若 DE2，则 DF 16 （4 分）如图，已知点 F 是 ABC 的重心，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E，连接 CF 并延长，交AB 于点 D，过点 F 作 FG BC，交 AC 于点 G设三角形 EFG，四边形 FBCG 的面积分别为S1， S2，则 S1： S2 17 （4 分）如图，直线 y4 x 与双曲线
6、 y 交于 A， B 两点，过 B 作直线 BC y 轴，垂足为 C，则以OA 为直径的圆与直线 BC 的交点坐标是 18 （4 分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1” ，其余各数都等于该数 “两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（ a+b） n 的展开式（按 b 的升幂排列） 经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去将（ s+x） 15 的展开式按 x 的升幂排列得：（ s+x） 15 a0+a1x+a2x2+a15x15依上述规律，解决下列问题：（
7、1）若 s1 ，则 a2 ；（2）若 s2 ，则 a0+a1+a2+a15 三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共 78 分）19 （8 分）计算：（1） 2019sin60（3） 20 （8 分）先化简，再求值：，其中 a2 21 （8 分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶 A 测得 C 处的俯角为 45， D 处的俯角为30，乙在山下测得 C， D 之间的距离为 400 米已知 B， C， D 在同一水平面的同一直线上，求山高 AB （可能用到的数据：1.414，11.732）22 （10 分）在一段长为 1000 的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运
8、动员均从 A 点出发进行往返跑训练已知乙比甲先出发 30 秒钟，甲距 A 点的距离 y（米）与其出发的时间 x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是 150 米分钟，且当乙到达 B 点后立即按原速返回（1）当 x 为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程23 （10 分）如图，已知 O 是 ABC 的外接圆，且 BC 为 O 的直径，在劣弧上取一点 D，使，将ADC 沿 AD 对折，得到 ADE，连接 CE（1）求证： CE 是 O 的切线；（2）若 CEC D，劣弧的弧长为 ，求 O 的半径24 （10 分）如图，已知抛物线经过两点 A（3 ，0） ， B（0，3 ）
9、 ，且其对称轴为直线 x1（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B） ，求 PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标25 （12 分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了 100 台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10 ，11 这四种情况，并整理了这 100 台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述 100 台机器更
10、换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率求这台机器在使用期内共更换了 9 个该易损零件的概率；若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个 200 元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个 500 元请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26 （12 分） （1）如图 1，在平行四边形 ABCD 中， A30， AB6， AD8 ，将平行四边形ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽 （保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为 1 的正方形按如图 21
11、 所示剪开，恰好能拼成如图 22 所示的矩形，则 m 的值是多少？（3）四边形 ABCD 是一个长为 7，宽为 5 的矩形（面积为 35） ，若把它按如图 31 所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图 32 所示的图形，得到一个长为 9，宽为 4 的矩形（面积为36） 问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由2019 年湖南省永州市中考数学试卷试题解析一、选择题（每小题 4 分，本大题共 10 个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题 4 分，共 40 分）1 【解答 】解： 2 的绝对值为： 2故选： D2 【解答 】解： A、不是轴对称图形，故本选项
12、错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误故选： B3 【解答 】解：将 8.94 亿用科学记数法表示为 8.94108，故选： C4 【解答 】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是 故选： B5 【解答 】解： A、原式不能合并，不符合题意；B、原式 a6，不符合题意；C、原式 a2b2，符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选： C6 【解答 】解：数据 1，4，3，2 ，4， x 中共有 6 个数，该组数据的中位数是 3，3解得 x 3故选： B7 【解答 】解： A有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B有一组对
13、边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45；不正确；D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选： D8 【解答 】解： AB AD，点 O 是 BD 的中点， AC BD， BAO DAO， ABD CDB， AB CD， BAC ACD， DAC ACD， AD CD， AB CD，四边形 ABCD 是菱形， AB5， BOBD4 ， AO3 ， AC2 AO6，四边形 ABCD 的面积 6824 ，故选： B9 【解答 】解： 甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于 4：5：4：2 ，设甲基地的产量为 4x 吨，则乙、丙、丁基
14、地的产量分别为 5x 吨、4 x 吨、2 x 吨，各基地之间的距离之比 a： b： c： d： e2：3 ：4：3：3 ，设 a2 y 千米，则 b、 c、 d、 e 分别为 3y 千米、4 y 千米、3 y 千米、3 y 千米，设运输的运费每吨为 z 元/ 千米，设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5 x2y+4x3y+2x3y） z28 xyz；设在乙处建总仓库， a+d5 y， b+c7 y， a+d b+c，则运费最少为：（4 x2y+4x3y+2x5y） z30 xyz；设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4 x3y+5x3y+2x4y） z35 xyz；设在丁处建总仓库，则运费最少为：
15、（4 x3y+5x5y+4x4y） z53 xyz；由以上可得建在甲处最合适，故选： A10 【解答】解：解不等式 2x6+ m0 ，得： x，解不等式 4x m0 ，得： x，不等式组有解，解得 m4 ，如果 m2 ，则不等式组的解集为 m2，整数解为 x1 ，有 1 个；如果 m0 ，则不等式组的解集为 0 m3 ，整数解为 x1，2，有 2 个；如果 m1 ，则不等式组的解集为 m，整数解为 x0，1 ，2，3，有 4 个；故选： C二、填空题（本大题共 8 个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题 4 分，共 32 分）11 【解答】解： x2+2x+1（ x+1） 2故答案为：（
16、 x+1） 212 【解答】解：去分母得：2 x x1 ，解得： x1，经检验 x1 是分式方程的解，故答案为：113 【解答】解： 代数式有意义， x10，解得： x1故答案为： x114 【解答】解：甲同学的平均数是：（90+88+92+94+91）91（分） ，甲同学的方差是： （9091） 2+（8891 ） 2+（9291） 2+（9491） 2+（9191） 24，乙同学的平均数是：（90+91+93+94+92）92（分） ，乙同学的方差是： （9092） 2+（9192 ） 2+（9392） 2+（9492） 2+（9292） 22， S 甲 24 S 乙 22，方差小的为乙，
17、成绩较好且比较稳定的同学是乙故答案为：乙15 【解答】解：过点 D 作 DM OB，垂足为 M，如图所示 OC 是 AOB 的平分线， DM DE 2在 Rt OEF 中， OEF90 ， EOF60， OFE30，即 DFM30在 Rt DMF 中， DMF90， DFM30 ， DF 2DM4 故答案为：4 16 【解答】解： 点 F 是 ABC 的重心， BF 2EF， BE3 EF， FG BC， EFG EBC， （） 2， S1： S2；故答案为：17 【解答】解：由求得或， A（1，3 ） ， B（3，1 ） ， OA，设 OA 的中点为 P，以 AB 为直径的 P 与直线 BC
18、 的交点为 M、 N，过 P 点作 PD x 轴于 D，交 BC 于 E，连接 PN， P 是 OA 的中点， P（， ） ， PD， BC y 轴，垂足为 C， BC x 轴， PD BC， PE1，在 Rt PEN 中， EM EN， M（1，1） ， N（2，1） 以 OA 为直径的圆与直线 BC 的交点坐标是（1，1 ）和（2 ，1） ，故答案为（1，1 ）和（2，1） 18 【解答】解：（ 1）由图 2 知：（ a+b） 1 的第三项系数为 0，（ a+b） 2 的第三项的系数为：1，（ a+b） 3 的第三项的系数为：31+2，（ a+b） 4 的第三项的系数为：61+2+3，发现
19、（1+ x） 3 的第三项系数为：3 1+2 ；（1+ x） 4 的第三项系数为 61+2+3 ；（1+ x） 5 的第三项系数为 101+2+3+4；不难发现（1+ x） n 的第三项系数为 1+2+3+（ n2）+（ n1） ， s1，则 a21+2+3+14 105故答案为：105；（2） （ s+x） 15 a0+a1x+a2x2+a15x15当 x1 时， a0+a1+a2+a15（2+1） 153 15，故答案为：3 15三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共 78 分）19 【解答】解：（ 1） 2019sin60（3 ）1+231+3+35202
20、1 【解答】解：设 AB x，由题意可知： ACB45， ADB30， AB BC x， BD BC+CD x+400，在 Rt ADB 中，山高 AB 为 546.4 米22 【解答】解：（ 1）甲的速度为：1004250 米/分钟，令 250x150（ x） ，解得， x0.75 ，答：当 x 为 0.75 分钟时，两人第一次相遇；（2）当 x5 时，乙行驶的路程为：150（5）825 1000 ，甲乙第二次相遇的时间为：55（分钟） ，则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（55）250 1109.375（米） ，答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是 1109.375 米
21、23 【解答】解：（ 1）， CAD BCA EAD，设： DCA DEA， DCE DEC，则 ACE 中，根据三角形内角和为 180，2+2+2180，+90， CE 是 O 的切线；（2）过点 A 作 AM BC，延长 AD 交 CE 于点 N，则 DN CE，四边形 AMCN 为矩形，设： AB CD x，则 CEx，则 CNCEx AM，而 AB x，则 sin ABM， ABM60， OAB 为等边三角形，即 AOB60，2r ，解得： r3 ，故圆的半径为 324 【解答】解：（ 1）抛物线对称轴是直线 x1 且经过点 A（3，0 ）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0
22、）设抛物线的解析式为 y a（ x x1） （ x x2） （ a0 ）即： y a（ x1） （ x+3）把 B（0，3）代入得：33 a a1抛物线的解析式为： y x22 x+3（2）设直线 AB 的解析式为 y kx+b， A（3，0 ） ， B（0，3 ） ，直线 AB 为 y x+3，作 PQ x 轴于 Q，交直线 AB 于 M，设 P（ x， x22 x+3） ，则 M（ x， x+3） ， PM x22 x+3（ x+3） x23 x，25 【解答】解：（ 1）10020502010，补全的条形统计图如图所示：（2） 这台机器在使用期内共更换了 9 个该易损零件的概率为： P；购买机器的同时购买 8 个该易损零件 20020%+50080%440 元，购买机器的同时购买 9 个该易损零件 20050%+50050%350 元，购买机器的同时购买 10 个该易损零件 20010%+50090%470 元，购买机器的同时购买 11 个该易损零件 20020%+50080%440 元，因此，购买机器的同时应购买 9 个该易损零件，可使公司的花费最少26 【解答】解：（ 1）如图所示：（2）依题意有直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加