1、A 级 基础巩固一、选择题1下列命题正确的是( )A函数 yx 的最小值为 21xB若 a，bR 且 ab0，则 2ba abC函数 的最小值为 2x2 21x2 2D函数 y23x 的最小值为 244x 3解析：A 错误，当 x0，所以 0， 0，且ba ab 2；C 错误，若运用基本不等式，需 ( )21，x 21 无实数解；D 错误，ba ab x2 2y2(3 x ) 24 .4x 3答案：B2已知 x ，则 f(x) 有( )52 x2 4x 52x 4A最大值 B最小值52 54C最大值 1 D最小值 1答案：D3已知 a，bR，且 ab 3，则 2a2 b的最小值为( )A6 B
2、 4 2C2 D23 6解析：2 a2 b2 4 .2a b 2答案：B4若 00，12所以 x 2x ，当且仅当 2x ，即 x1 4x212 1 4x2 12 4x2 1 4x22 14 1 4x2时等号成立24答案：C5已知不等式(xy) 16 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )(4x ay)A1 B2C4 D6解析：(xy) 4a ，因为 x0，y0，a 0，所以 2 4(4x ay) (4yx axy) 4yx axy 4yxaxy，当且仅当 时取等号由已知可得 4a4 16，即 a4 120，解得a4yx axy a a 2 或 6(舍去)，所以 a4，即
3、 a 的最小值为 4.a a答案：C二、填空题6已知函数 f(x)4x (x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_ax解析：因为 x0，a0，所以 f(x)4x 2 4 ，ax 4xax a当且仅当 4x 时，等号成立，ax此时 a4x 2，因为 x3 时函数取得最小值，所以 a4936.答案：367若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_解析：因为 a，b 为正数，所以 abab32 3，ab所以( 3)( 1) 0，ab ab所以 3，所以 ab9.ab答案：9，)8当 x1 时，不等式 x a 恒成立，则实数 a 的最大值为 _1x 1解析：x a 恒成立 a，1x
4、 1 (x 1x 1) min因为 x1，即 x10，所以 x x 1 12 13，1x 1 1x 1 （x 1） 1x 1当且仅当 x1 ，即 x 2 时，等号成立1x 1所以 a3，即 a 的最大值为 3.答案：3三、解答题9已知 x，y0，且 x2yxy30，求 xy 的范围解：因为 x，y 是正实数，故 30x 2yxy2 xy，当且仅当 x2y，2xy即 x6，y3 时，等号成立所以 xy2 300.2xy令 t ，则 t0，得 t22 t300，xy 2解得5 t3 .2 2又 t0，知 00，y0，所以由基本不等式，得 .2x 5y2 2x5y 10xy因为 2x5y20，所以
5、10，当且仅当 2x5y 时，等号成立10xy因此有 解得2x 5y 20，2x 5y， ) x 5，y 2，)此时 xy 有最大值 10.所以 ulg x lg ylg(xy)lg 101.所以当 x5，y 2 时，ulg xlg y 有最大值 1.(2)因为 x0，y0，所以 ，1x 1y (1x 1y)2x 5y20 120(7 5yx 2xy) 120(7 25yx2xy) 7 21020当且仅当 时，等号成立5yx 2xy由 解得2x 5y 20，5yx 2xy ) x 1010 203 ，y 20 4103 . )所以 的最小值为 .1x 1y 7 21020B 级 能力提升1某工
6、厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 400 平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米 200 元，中间两条隔墙造价为每米 250 元，池底造价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖) 若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为 ( )A.40 米，10 米 B20 米，20 米C30 米， 米 D50 米，8 米403解析：设总造价为 y 元，污水池的长为 x 米，则宽为 米，总造价400xy 2002250 80400400 32 0004002 32 (2x 2400x) 400x (x 900x) x900x00056 000(元)，当且仅当 x ，即 x30 时
7、等号成立，此时污水池的宽为 米900x 403答案：C2函数 ylog a(x3)1( a0，a1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny10 上，其中 m，n0，则 的最小值为_1m 2n解析：函数 ylog a(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点 A(2，1)，且点 A 在直线mxny10 上，所以 2mn1，m，n0，所以 (2mn) 4 42 1m 2n (1m 2n) nm 4mn 8，nm4mn当且仅当 即 时等号成立2m n 1，nm 4mn，) m 14，n 12)答案：83.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备
8、购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示) 种植桑树，池塘周围的基围宽约为 2 米，如图，设池塘所占的总面积为 S 平方米(1)试用 x 表示 S.(2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值解：(1)由图形知，3a6x，所以 a .x 63则总面积 S a2a a 1 832(1 800x 4) (1 800x 6) (5 400x 16) x 63 (5 400x 16)，(10 800x 16x3)即 S1 832 (x0) (10 800x 16x3)(2)由 S1 832 ，(10 800x 16x3)得 S1 8322 1 83222401 352.10 800x 16x3当且仅当 ，10 800x 16x3即 x45 时等号成立即当 x 为 45 米时，S 最大，且 S 最大值为 1 352 平方米