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2019秋人教A版数学必修5同步练习含解析:3.4.2基本不等式的应用

1、A 级 基础巩固一、选择题1下列命题正确的是( )A函数 yx 的最小值为 21xB若 a,bR 且 ab0,则 2ba abC函数 的最小值为 2x2 21x2 2D函数 y23x 的最小值为 244x 3解析:A 错误,当 x0,所以 0, 0,且ba ab 2;C 错误,若运用基本不等式,需 ( )21,x 21 无实数解;D 错误,ba ab x2 2y2(3 x ) 24 .4x 3答案:B2已知 x ,则 f(x) 有( )52 x2 4x 52x 4A最大值 B最小值52 54C最大值 1 D最小值 1答案:D3已知 a,bR,且 ab 3,则 2a2 b的最小值为( )A6 B

2、 4 2C2 D23 6解析:2 a2 b2 4 .2a b 2答案:B4若 00,12所以 x 2x ,当且仅当 2x ,即 x1 4x212 1 4x2 12 4x2 1 4x22 14 1 4x2时等号成立24答案:C5已知不等式(xy) 16 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( )(4x ay)A1 B2C4 D6解析:(xy) 4a ,因为 x0,y0,a 0,所以 2 4(4x ay) (4yx axy) 4yx axy 4yxaxy,当且仅当 时取等号由已知可得 4a4 16,即 a4 120,解得a4yx axy a a 2 或 6(舍去),所以 a4,即

3、 a 的最小值为 4.a a答案:C二、填空题6已知函数 f(x)4x (x0,a0)在 x3 时取得最小值,则 a_ax解析:因为 x0,a0,所以 f(x)4x 2 4 ,ax 4xax a当且仅当 4x 时,等号成立,ax此时 a4x 2,因为 x3 时函数取得最小值,所以 a4936.答案:367若正数 a,b 满足 abab3,则 ab 的取值范围是_解析:因为 a,b 为正数,所以 abab32 3,ab所以( 3)( 1) 0,ab ab所以 3,所以 ab9.ab答案:9,)8当 x1 时,不等式 x a 恒成立,则实数 a 的最大值为 _1x 1解析:x a 恒成立 a,1x

4、 1 (x 1x 1) min因为 x1,即 x10,所以 x x 1 12 13,1x 1 1x 1 (x 1) 1x 1当且仅当 x1 ,即 x 2 时,等号成立1x 1所以 a3,即 a 的最大值为 3.答案:3三、解答题9已知 x,y0,且 x2yxy30,求 xy 的范围解:因为 x,y 是正实数,故 30x 2yxy2 xy,当且仅当 x2y,2xy即 x6,y3 时,等号成立所以 xy2 300.2xy令 t ,则 t0,得 t22 t300,xy 2解得5 t3 .2 2又 t0,知 00,y0,所以由基本不等式,得 .2x 5y2 2x5y 10xy因为 2x5y20,所以

5、10,当且仅当 2x5y 时,等号成立10xy因此有 解得2x 5y 20,2x 5y, ) x 5,y 2,)此时 xy 有最大值 10.所以 ulg x lg ylg(xy)lg 101.所以当 x5,y 2 时,ulg xlg y 有最大值 1.(2)因为 x0,y0,所以 ,1x 1y (1x 1y)2x 5y20 120(7 5yx 2xy) 120(7 25yx2xy) 7 21020当且仅当 时,等号成立5yx 2xy由 解得2x 5y 20,5yx 2xy ) x 1010 203 ,y 20 4103 . )所以 的最小值为 .1x 1y 7 21020B 级 能力提升1某工

6、厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 400 平方米的三级污水处理池,如图所示,池外圈造价为每米 200 元,中间两条隔墙造价为每米 250 元,池底造价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖) 若使水池的总造价最低,那么污水池的长和宽分别为 ( )A.40 米,10 米 B20 米,20 米C30 米, 米 D50 米,8 米403解析:设总造价为 y 元,污水池的长为 x 米,则宽为 米,总造价400xy 2002250 80400400 32 0004002 32 (2x 2400x) 400x (x 900x) x900x00056 000(元),当且仅当 x ,即 x30 时

7、等号成立,此时污水池的宽为 米900x 403答案:C2函数 ylog a(x3)1( a0,a1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线mxny10 上,其中 m,n0,则 的最小值为_1m 2n解析:函数 ylog a(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点 A(2,1),且点 A 在直线mxny10 上,所以 2mn1,m,n0,所以 (2mn) 4 42 1m 2n (1m 2n) nm 4mn 8,nm4mn当且仅当 即 时等号成立2m n 1,nm 4mn,) m 14,n 12)答案:83.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备

8、购置一块 1 800 平方米的矩形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示) 种植桑树,池塘周围的基围宽约为 2 米,如图,设池塘所占的总面积为 S 平方米(1)试用 x 表示 S.(2)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值解:(1)由图形知,3a6x,所以 a .x 63则总面积 S a2a a 1 832(1 800x 4) (1 800x 6) (5 400x 16) x 63 (5 400x 16),(10 800x 16x3)即 S1 832 (x0) (10 800x 16x3)(2)由 S1 832 ,(10 800x 16x3)得 S1 8322 1 83222401 352.10 800x 16x3当且仅当 ,10 800x 16x3即 x45 时等号成立即当 x 为 45 米时,S 最大,且 S 最大值为 1 352 平方米