1、A 级 基础巩固一、选择题1设变量 x，y 满足约束条件 则 zx3y 的最小值为( )y x，x 2y 2，x 2， )A2 B 4 C6 D8解析：作可行域如图所示，当 zx3y 过点 A(2，2)时，z 取最小值，zmin 23 28.答案：D2若实数 x，y 满足不等式组 则 z2|x| y 的取值范围是( )x 3y 3 0，x y 1 0，y 1， )A1，3 B1，11C1，3 D 1，11解析：作出不等式组对应的平面区域如图所示，当 x0 时，z2xy，即y2xz ，由图象可知其经过 A(0，1)时，z min1，经过 B(6，1)时，z max11；当x0 时，y2xz，由图
2、象可知其经过 C(2，1)时，z max3，经过 A(0，1)时，zmin 1，所以 1z11.答案：D3已知变量 x，y 满足约束条件 则 z3xy 的最大值为( )y 2，x y 1，x y 1， )A12 B11 C3 D1解析：首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y3xz 经过点 A 时，z 取得最大值由 此时 z3xy11.y 2，x y 1) x 3，y 2，)答案：B4已知 x，y 满足 目标函数 z2xy 的最大值为 7，最小值为 1，x 1，x y 4，x by c 0，
3、)则 b，c 的值分别为( )A1，4 B1，3C2，1 D1，2解析：由题意知，直线 xbyc 0 经过直线 2xy7 与直线 xy4 的交点，且经过直线 2xy1 和直线 x1 的交点，即经过点(3 ，1)和点(1 ，1) ，所以 解得3 b c 0，1 b c 0，) b 1，c 2.)答案：D5x，y 满足约束条件 若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则x y 2 0，x 2y 2 0，2x y 2 0， )实数 a 的值为( )A. 或1 B2 或12 12C2 或 1 D2 或1解析：如图，由 yax z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a0 时，要使 zya
4、x 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a1.答案：D二、填空题6若实数 x，y 满足 则 z3 x2y 的最小值是 _x y 1 0，x y 0，x 0， )解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设 tx2y，则 y x ，12 t2当 x0，y0 时，t min0，z3 x2y 的最小值为 1.答案：17已知 x，y 满足约束条件 则 x2y 2 的最小值是 _x 1，x y 1 0，2x y 2 0.)解析：画出满足条件的可行域(如图) ，根据 表示可行域内一点到原点的距离，x2 y2可知 x2y 2的最小值是|AO| 2
5、.由 x 1，x y 1 0，)得 A(1，2) ，所以 |AO|25.答案：58若点 P(m，n) 在由不等式组 所确定的区域内，则 nm 的最大值x y 7 0，x 2y 5 0，2x y 1 0)为_解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3) ，(2，5)，(3，4)，设目标函数为 zy x.则 yxz，其纵截距为 z，由图易知点 P 的坐标为(2，5) 时，nm 的最大值为 3.答案：3三、解答题9设函数 z2x5y ，其中 x，y 满足条件 x 2y 8，0 x 4，0 y 3， )求 z 的最大值与最小值解：在平面直角坐标系 xOy 内画出不等式组所表
6、示的平面区域，即可行域(如图中阴影部分) 把 z2x5y 变形为 y x z，得到斜率为 ，在 y 轴上的截距为 z，随 z 变化25 15 25 15的一组平行直线由图可以看出，当直线 y x z 经过可行域上的点 M 时，截距 z 最大，即 z 最25 15 15大解方程组 得x 2y 8，y 3， ) x 2，y 3，)故 M(2，3) 此时 zmax225319.易知直线 y x z 经过原点时，截距最小，25 15故 zmin 0.10已知1xy 4 且 2xy3，求 z2x3y 的取值范围解：由 得平面区域如图中的阴影部分所示由图得当 z2x3y 分别 1x y4，2x y3 )过
7、点 A， B 时取最小值、最大值由 得x y 1，x y 3，) x 1，y 2，)所以 B(1，2)由 得x y 4，x y 2，) x 3，y 1，)所以 A(3，1) 所以 2331z 2x3y213(2) ，即 3z8，故 z2x 3y 的取值范围是(3，8) B 级 能力提升1已知 x，y 满足约束条件 当目标函数 zaxby( a0，b0)在该x y 1 0，2x y 3 0， )约束条件下取到最小值 2 时， a2b 2 的最小值为( )5A5 B4 C. D25解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示由 解得x y 1 0，2x y 3 0，) x 2，y 1，)所以 z
8、axby 在 A(2，1)处取得最小值，故 2ab2 ，a 2b 2a 2(2 2a) 2(5 5a 4)244.5法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 xy10 与 2xy30的交点(2 ，1) 时取得最小值，所以有 2ab2 .又因为 a2b 2是原点(0，0)到点( a，b)的5距离的平方，故当 为原点到直线 2ab2 0 的距离时最小，所以 的最a2 b2 5 a2 b2小值是 2，所以 a2 b2的最小值是 4.| 25|22 12答案：B2当实数 x，y 满足 时，1axy 4 恒成立，则实数 a 的取值范x 2y 4 0，x y 1 0，x 1 )围是_解析：画可行
9、域如图所示，设目标函数 zaxy，即 y axz，要使 1z4 恒成立，则 a0，数形结合知，满足 即可，解得 1a .1 2a 1 4，1 a 4 ) 32所以 a 的取值范围是 1a .32答案： 1， 323若 x，y 满足约束条件 x y 1，x y 1，2x y 2. )(1)求目标函数 z xy 的最值；12 12(2)若目标函数 zax2y 仅在点(1，0) 处取得最小值，求 a 的取值范围解：(1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得 A(3，4)，B(0，1) ，C (1，0)，平移初始直线 y x，过 A(3，4) 时 z 取得最小值2，过 C(1，0) 时，z 取得最大值 1.所以 z 的最大12值为 1，最小值为2.(2)由 ax2yz，得 y x ，因为直线 ax2yz 仅在点(1，0) 处取得最小值，由a2 z2图象可知1 2，解得4a2.故所求 a 的取值范围为(4，2) a2