1、A 级 基础巩固一、选择题1学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得 AC 的长度为 4 米，A30 ，则其跨度 AB 的长为 ( )A12 米 B8 米 C3 米 D4 米3 3解析：ABC 为等腰三角形，A30 ，所以 B30 ，C120 ，所以由余弦定理得 AB2AC 2BC 22AC BCcos C4 24 2244 48，( 12)所以 AB4 .3答案：D2.如图所示为起重机装置示意图支杆 BC10 m，吊杆 AC15 m，吊索 AB5 19m，起吊的货物与岸的距离 AD 为( )A30 m B. m1532C15 m D45 m3解析：在ABC 中，cos ABC ，1
2、02 （519）2 152210519 7219ABC(0，180)，所以 sinABC ，1 ( 7219)2 33219所以在 RtABD 中，ADABsinABC5 (m)1933219 1532答案：B3甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔在电动车的北偏东 30方向上， 15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( )A6 km B3 km C3 km D3 km3 2解析：由题意知，AB24 6 (km)，14BAS30，ASB753045.由正弦定理得 BS 3 (
3、km)ABsinBASsinASB 6sin 30sin 45 2答案：C4一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50方向直线航行，30 分钟后到达 B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 20，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里2 3C20 海里 D20 海里2 3解析：如图，由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC 中，由正弦定理，得 BC sin 3010 .ABsin 45 2答案：A5两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 2
4、km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东230，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60，则 A、B 之间的距离为( )A2 km B3 kmC4 km D5 km解析：如下图所示，ACB 90，又 ACBC2 ，2在ABC 中由勾股定理得：AB 4.AC2 BC2 8 8答案：C二、填空题6一艘海轮以 20 n mile/h 的速度向正东方向航行，它在 A 点测得灯塔 P 在船的北偏东 60方向上，2 h 后船到达 B 点时，测得灯塔 P 在船的北偏东 45方向上，则 B 点到灯塔P 的距离为 _n mile.解析：由题可知，在ABP 中， AB40，PAB30，ABP135，所以BPA15，由正
5、弦定理得 ，ABsin 15 BPsin 30所以 BP 20( )ABsin 30sin 1540126 24 6 2答案：20( )6 27已知 A，B ，C 三地，其中 A，C 两地被一个湖隔开，测得 AB3 km，B45 ，C30 ，则 A、 C 两地的距离为_km.解析：根据题意，由正弦定理可得 ，代入数值得 ，解得ABsin C ACsin B 3sin 30 ACsin 45AC3 .2答案：3 28.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，2018 年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后 (没有完全断开)，树干与地面成 75
6、角，折断部分与地面成 45角，树干底部与树尖着地处相距 10 米，则大树原来的高度是_米(结果保留根号) 解析：如图所示，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则AOB75，ABO45，所以 OAB60.由正弦定理知， ，AOsin 45 ABsin 75 10sin 60所以 OA ，AB ，1063 152 563所以 OAAB5 5 .2 6答案：5 52 6三、解答题9要测量对岸两点 A、B 之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并测得3ACB 75，BCD45， ADC30 ，ADB45 ，求 A、B 之间的距离解：如图所示，在ACD 中，ACD120，CAD A
7、DC30，所以 ACCD (km)3在BCD 中，BCD45 ，BDC75 ，CBD60，所以 BC ( km)3sin 75sin 60 6 22在ABC 中，由余弦定理得AB2( )2 2 cos 7532 5，3 (6 22 )2 3 6 22 3 3所以 AB (km)5所以 A、B 之间的距离为 km.510.如图所示，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20的方向，从城 A 出发有一条走向为南偏东 40的公路，在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去，行驶了 20 km 后到达 D 处，测得 C，D 两处的距离为 21 km，这时此
8、车距离 A 城多少千米？解：在BCD 中， BC31 km ，BD 20 km ，CD21 km，由余弦定理得cosBDC .BD2 CD2 BC22BDCD 202 212 31222021 17所以 cosADC ，17所以 sinADC .1 cos2ADC437在ACD 中，由条件知 CD21 km ，BAC 204060，所以 sinACD sin(60ADC) .32 17 12 437 5314由正弦定理得 ，ADsinACD CDsinBAC所以 AD 15(km) 2132 5314故这时此车距离 A 城 15 km.B 级 能力提升1如图所示，A，B 两地之间有一座山，汽车
9、原来从 A 地到 B 地须经 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC10 km，A30 ，B 45，则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走 (结果精确到 0.1 km；参考数据： 1.41， 1.73)( )2 3A3.4 km B2.3 km C5 km D3.2 km解析：过点 C 作 CDAB，垂足为 D.在 RtCAD 中， A30 ，AC10(km)，CD AC5(km) ，12ADACcos 305 (km)3在 RtBCD 中， B45 ，BDCD5(km)，BC 5 (km)CDsin 45 2ABAD BD(5 5)(km)，
10、3ACBCAB105 (5 5) 55 5 551.4151.73 3.4(km)2 3 2 3答案：A2我舰在岛 A 南偏西 50相距 12 海里的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10的方向以每小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度为_海里/时解析：由题可得下图不妨设我舰追上敌舰时在 C 点则 AC20， BAC120 ，AB12，所以 BC212 220 221220cos 12028 2，所以 BC28 ，所以速度 v 14(海里/时)282答案：143如图所示，港口 B 在港口 O 正东方向 120 海里处，小岛 C 在港口 O 北偏东 60方向，且在港
11、口 B 北偏西 30方向上一艘科学家考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30的 OA方向以 20 海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口 B 出发，以 60 海里/时的速度驶向小岛C，在 C 岛装运补给物资后给考察船送去现两船同时出发，补给物资的装船时间为 1 小时，则快艇驶离港口 B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：设快艇驶离港口 B 后，经过 x 小时，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇如图所示，连接 CD，则快艇沿线段 BC，CD 航行在OBC 中，由题意易得 BOC30，CBO60 ，因为 BO120，所以 BC60，OC60 .3故快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1 小时，所以 x1.在OCD 中，由题意易得 COD30，OD20x，CD60(x2) 由余弦定理，得 CD2OD 2OC 22OD OCcosCOD，所以 602(x2) 2(20x )2(60 )2220x60 cos 30.解得 x3 或 x ，因为3 338x1，所以 x 3.所以快艇驶离港口 B 后，至少要经过 3 小时才能和考察船相遇