1、A 级 基础巩固一、选择题1在ABC 中，设 a， b，且| a|2，|b| 1，a b1，则| |( )AB BC AC A1 B. C. D.2 3 7解析：因为| | |，AC AB BC 所以| | .AC |AB BC |2 a2 2ab b2 3答案：C2设向量 a， b 满足|ab| ，|ab| ，则 ab( )10 6A1 B2 C3 D5解析：因为|a b|2( ab) 2a 2b 22ab10，|ab| 2 (ab) 2a 2b 22ab6，两式相减得：4ab4，所以 ab1.答案：A3已知向量 a， b 满足|a| 2 ，|b|1，ab1，则向量 a 与 ab 的夹角为(
2、 )A. B. C. D.6 3 56 23解析：|ab| ，（a b）2 a2 b2 2ab 3设向量 a 与 ab 的夹角为 ，则 cos ，a（a b）|a|a b| 22 123 32又 0，所以 .6答案：A4.(2018天津卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC ，ADCD，BAD120，AB AD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为( )AE BE A. B. C. D32116 32 2516答案：A5若向量 a 与 b 的夹角为 60，| b|4，且(a2b)(a3b) 72，则 a 的模为( )A2 B4 C6 D12解析：因为(a2b)(a3b)
3、a2ab6b 2|a| 2| a|b|cos 606| b|2 |a|22| a|9672，所以|a| 22|a| 240，所以|a|6.答案：C二、填空题6在等腰ABC 中，AB AC 2，ACB ，D 是 BC 的中点，则 在 方向上6 BA CD 的正射影数量是_解析：如图所示，作向量 ，则 与 的夹角为ABE ，所以 在BE CD BA CD 6 56 BA 方向上的正射影的数量为| |cos 2 .CD BA 56 ( 32) 3答案： 37如图，在四边形 ABCD 中，| |4， 12，E 为 AC 的中点，若AC BA BC 2 ，则 _BE ED DA DC 解析：因为| |4
4、，E 是 AC 的中点，所以 AECE 2.AC ( )( ) 2 2 22 212 216 24，所BA BC BE EA BE EC BE AE BE BE DE 以 ( )( ) 2 2440.DA DC DE EA DE EC DE AE 答案：08(2018上海卷)在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)，B(2 ，0)，E，F 是 y 轴上的两个动点，且| |2，则 的最小值为_EF AE BF 答案：3三、解答题9(1)若|a| 4，ab6，求 b 在 a 方向上的投影；(2)已知|a| 6，e 为单位向量，当它们之间的夹角 分别等于 60，90，120时，求出 a 在 e 方向
5、上的投影解：(1)设 a 与 b 的夹角为 .因为 ab|a|b|cos 6，且|a |4，所以 4|b|cos 6，所以 b 在 a 方向上的投影为|b|cos .32(2)a 在 e 方向上的投影为|a|cos .当 60 时， a 在 e 方向上的投影为|a|cos 603；当 90 时， a 在 e 方向上的投影为|a|cos 900；当 120 时， a 在 e 方向上的投影为|a|cos 1203.10设向量 a， b 满足|a| |b|1，|3 ab| .5(1)求|a3b| 的值；(2)求 3ab 与 a3b 夹角的正弦值解：(1)由|3ab| ，得(3ab) 25，5所以 9
6、a26abb 25.因为 a2|a| 2 1，b 2|b| 21 ，所以 96ab15.所以 ab .56所以(a3b) 2a 26ab9b 216 9115.56所以|a 3b| .15(2)设 3ab 与 a3b 的夹角为 .因为(3ab)(a3b)3a 28 ab3b 2318 31 .56 203所以 cos .（3a b）（a 3b）|3a b|a 3b| 203515 439因为 0 180，所以 sin .1 cos21 (439)2 339所以 3ab 与 a3b 夹角的正弦值为 .339B 级 能力提升1点 O 是ABC 所在平面上一点，且满足 ，则点 O 是OA OB OB
7、 OC OA OC ABC 的 ( )A重心 B垂心C内心 D外心解析：因为 ，OA OB OB OC 所以 ( )0，OB OA OC 即 0, 则 .OB CA OB CA 同理 ， .OA BC OC AB 所以 O 是ABC 的垂心答案：B2已知 a， b 是单位向量，ab0，若向量 c 满足| cab|1，则| c|的取值范围是( )A 1， 1 B 1， 22 2 2 2C1， 1 D1， 22 2解析：因为 a， b 是单位向量，所以|a| |b|1.又|c ab| 2c 22c (ab) 2aba 2b 21，所以 2c(ab)c 21.因为|a| |b|1 ，且 ab0，所以
8、 |ab| .2因为|cab| | c(ab)|1，所以 c212 |c|cos ( 是 c 与 ab 的夹角) 2又1cos 1，所以 0c212 |c|，2所以 c22 |c|10.2根据二次函数 yx 22 x1 的图象，2可得 1|c| 1.2 2答案：A3ABC 的三边长分别为 a，b，c，以点 A 为圆心，r 为半径作圆，如图，PQ 为直径，试判断 P，Q 在什么位置时， 有最大值BP CQ 解：因为 ， ，BP AP AB CQ QA CA 即 ，CQ AC QA AC AP 所以 ( )( )BP CQ AP AB AC AP AP AC AB AC AP2 AB AP r 2 ( )AB AC AP AB AC r 2 AB AC AP CB | | |cosBACr 2 AB AC AP CB bccos BAC r2 .AP CB 当 与 同向时， 最大，为| | |ra ，AP CB AP CB AP CB 即当 与 共线且同方向时，QP CB 有最大值 bccosBACarr 2.BP CQ