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2019秋人教A版数学必修4同步练习含解析:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

1、A 级 基础巩固一、选择题1在ABC 中,设 a, b,且| a|2,|b| 1,a b1,则| |( )AB BC AC A1 B. C. D.2 3 7解析:因为| | |,AC AB BC 所以| | .AC |AB BC |2 a2 2ab b2 3答案:C2设向量 a, b 满足|ab| ,|ab| ,则 ab( )10 6A1 B2 C3 D5解析:因为|a b|2( ab) 2a 2b 22ab10,|ab| 2 (ab) 2a 2b 22ab6,两式相减得:4ab4,所以 ab1.答案:A3已知向量 a, b 满足|a| 2 ,|b|1,ab1,则向量 a 与 ab 的夹角为(

2、 )A. B. C. D.6 3 56 23解析:|ab| ,(a b)2 a2 b2 2ab 3设向量 a 与 ab 的夹角为 ,则 cos ,a(a b)|a|a b| 22 123 32又 0,所以 .6答案:A4.(2018天津卷)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB BC ,ADCD,BAD120,AB AD1.若点 E 为边 CD 上的动点,则 的最小值为( )AE BE A. B. C. D32116 32 2516答案:A5若向量 a 与 b 的夹角为 60,| b|4,且(a2b)(a3b) 72,则 a 的模为( )A2 B4 C6 D12解析:因为(a2b)(a3b)

3、a2ab6b 2|a| 2| a|b|cos 606| b|2 |a|22| a|9672,所以|a| 22|a| 240,所以|a|6.答案:C二、填空题6在等腰ABC 中,AB AC 2,ACB ,D 是 BC 的中点,则 在 方向上6 BA CD 的正射影数量是_解析:如图所示,作向量 ,则 与 的夹角为ABE ,所以 在BE CD BA CD 6 56 BA 方向上的正射影的数量为| |cos 2 .CD BA 56 ( 32) 3答案: 37如图,在四边形 ABCD 中,| |4, 12,E 为 AC 的中点,若AC BA BC 2 ,则 _BE ED DA DC 解析:因为| |4

4、,E 是 AC 的中点,所以 AECE 2.AC ( )( ) 2 2 22 212 216 24,所BA BC BE EA BE EC BE AE BE BE DE 以 ( )( ) 2 2440.DA DC DE EA DE EC DE AE 答案:08(2018上海卷)在平面直角坐标系中,已知点 A(1,0),B(2 ,0),E,F 是 y 轴上的两个动点,且| |2,则 的最小值为_EF AE BF 答案:3三、解答题9(1)若|a| 4,ab6,求 b 在 a 方向上的投影;(2)已知|a| 6,e 为单位向量,当它们之间的夹角 分别等于 60,90,120时,求出 a 在 e 方向

5、上的投影解:(1)设 a 与 b 的夹角为 .因为 ab|a|b|cos 6,且|a |4,所以 4|b|cos 6,所以 b 在 a 方向上的投影为|b|cos .32(2)a 在 e 方向上的投影为|a|cos .当 60 时, a 在 e 方向上的投影为|a|cos 603;当 90 时, a 在 e 方向上的投影为|a|cos 900;当 120 时, a 在 e 方向上的投影为|a|cos 1203.10设向量 a, b 满足|a| |b|1,|3 ab| .5(1)求|a3b| 的值;(2)求 3ab 与 a3b 夹角的正弦值解:(1)由|3ab| ,得(3ab) 25,5所以 9

6、a26abb 25.因为 a2|a| 2 1,b 2|b| 21 ,所以 96ab15.所以 ab .56所以(a3b) 2a 26ab9b 216 9115.56所以|a 3b| .15(2)设 3ab 与 a3b 的夹角为 .因为(3ab)(a3b)3a 28 ab3b 2318 31 .56 203所以 cos .(3a b)(a 3b)|3a b|a 3b| 203515 439因为 0 180,所以 sin .1 cos21 (439)2 339所以 3ab 与 a3b 夹角的正弦值为 .339B 级 能力提升1点 O 是ABC 所在平面上一点,且满足 ,则点 O 是OA OB OB

7、 OC OA OC ABC 的 ( )A重心 B垂心C内心 D外心解析:因为 ,OA OB OB OC 所以 ( )0,OB OA OC 即 0, 则 .OB CA OB CA 同理 , .OA BC OC AB 所以 O 是ABC 的垂心答案:B2已知 a, b 是单位向量,ab0,若向量 c 满足| cab|1,则| c|的取值范围是( )A 1, 1 B 1, 22 2 2 2C1, 1 D1, 22 2解析:因为 a, b 是单位向量,所以|a| |b|1.又|c ab| 2c 22c (ab) 2aba 2b 21,所以 2c(ab)c 21.因为|a| |b|1 ,且 ab0,所以

8、 |ab| .2因为|cab| | c(ab)|1,所以 c212 |c|cos ( 是 c 与 ab 的夹角) 2又1cos 1,所以 0c212 |c|,2所以 c22 |c|10.2根据二次函数 yx 22 x1 的图象,2可得 1|c| 1.2 2答案:A3ABC 的三边长分别为 a,b,c,以点 A 为圆心,r 为半径作圆,如图,PQ 为直径,试判断 P,Q 在什么位置时, 有最大值BP CQ 解:因为 , ,BP AP AB CQ QA CA 即 ,CQ AC QA AC AP 所以 ( )( )BP CQ AP AB AC AP AP AC AB AC AP2 AB AP r 2 ( )AB AC AP AB AC r 2 AB AC AP CB | | |cosBACr 2 AB AC AP CB bccos BAC r2 .AP CB 当 与 同向时, 最大,为| | |ra ,AP CB AP CB AP CB 即当 与 共线且同方向时,QP CB 有最大值 bccosBACarr 2.BP CQ